Подвійний інтеграл, його властивості(пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття
подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

План

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття
подвійного інтеграла

Означення подвійного інтеграла

Теорема існування

Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

.

.

 неперервна в області

.

 — ступінчастого тіла:

(11.1)            

.

).

:

           

Рис.11.1

.           (11.2)

 і позначається так:

.

            Отже, об’єм циліндричного тіла

.                                (11.3)

(по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює

               Рис.11.2                                      
Рис.11.3                                    

                 (11.4)

.

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за
Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що
позначається так:

            Отже,

                        (11.5)

            До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про
визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші
задачі.

вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні
труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

вимірної міри цих частин.

1)       Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

 яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому
виконуються такі властивості:

 то

            Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі,
як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.

            В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що
мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть
служити прикладом таких поверхонь.

            Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією
точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні
площини можуть і не існувати.

 , що задовольняє таким властивостям:

 то

 то

           

1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка,
відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

            Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не
розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

 і складемо суму

 що відповідає даному розбиттю.

).            Отже,

.                 (11.6)

.

2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування

із кусково-гладкими границями.

            10. Справедлива рівність

                                    (11.7)

 розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини

що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і
врахувати, що

Але тоді

, про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.

            20. Справедлива рівність

             (11.8)

константи.

 то

                    (11.9)

            40. Якщо

то має місце нерівність

                                   (11.10)

            Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для
звичайного означеного інтеграла.

            50. Справедлива нерівність

                                (11.11)

) і (4.10)

тобто (11.11).

 то

                           (11.12)

 константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:

 , що виконується рівність

                              (11.13)

 Тому

і використовуючи властивості 10, 40 , одержимо

 .                         (11.14)

Із нерівностей (12.11) випливає

,

 Функція

 .

 має місце рівність

що й доводить теорему.

           

.

 і

                                   (11.15)

           

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *