Панорама показникової функції.10клас (реферат)

Реферат на тему:

Панорама показникової функції.10клас

Семінарське заняття передбачає обов’язкову самостійну роботу кожного
учня, колективне обговорення й оцінку підсумків роботи. Під час
підготовки до семінару клас розподіляється на творчі групи по 4-5 учнів,
які працюють над одним змістовим завданням різних рівнів. У кожній
творчій групі є лідер, бажано учень з високим рівнем знань. Під час
виконання завдань лідер допомагає у своїй творчій групі кожному вибрати
завдання відповідного рівня і розібратися у розв’язанні. На
семінарському занятті учні виступають коротко, чітко, з необхідними
поясненнями у розв’язанні; при цьому користуються своїми зошитами,
самостійно виготовленими таблицями. На уроці слід створити такі умови
роботи, щоб усі учні брали активну участь в обговоренні розв’язань.

Деякі найпоширеніші види трансцендентних функцій, зокрема
показників,відкривають доступ до багатьох досліджень.

Л.Ейлер

Тип уроку: узагальнення й систематизація знань.

Мета: узагальнити й систематизувати знання, отримані під час вивчення
теми; провести корекцію знань і вмінь; підготуватися до роботи за
введеною наступного уроку темою “Логарифмічна функція”; показати
застосування на практиці і в житті показникової функції; удосконалювати
навички роботи у творчих групах; розвивати старанність, культуру
відповіді, зацікавленість математикою, логічну увагу, здатність
самостійно оцінювати знання, критичність і швидкість розв’язування,
розвивати логічне, раціональне й аналітичне мислення, здатність
розвивати ситуацію успіху; дати можливість кожному учню висловлювати
свої думки й відчути відповідальність за спільну справу зміцнювати
почуття обов’язку між членами творчої групи й уміння давати оцінку
роботі своїй та інших.

Обладнання: кодоскоп.

Міжпредметні зв’язки: література, історія розвитку математики, фізика,
біологія.

Учні повинні

знати: властивості степенів, означення і властивості показникової
функції та способи їх розв’язання, графіки та основні способи їх
перетворення;

вміти: виконувати тотожні перетворення виразів, розв’язувати найпростіші
показникові рівняння й нерівності, а також рівняння, що зводяться до
них.

План проведення семінару

Властивості й графік показникової функції (звіт 1-ої творчої групи).

Показникові рівняння й способи їх розв’язання (звіт 2-ої творчої групи).

Від рівняння до нерівності (звіт 3-ої творчої групи).

Показникова функція у графіках (звіт 4-ої творчої групи).

Використання показникової функції у житті (звіт 5-ої творчої групи).

Тестування (учні всього класу).

Хід семінарського заняття

Учитель.Homo sapiens- розумна людина, філософ, поет, математик,
невичерпне джерело енергії, здатне перетворити неможливе в можливе, всі
мрії втілити в дійсність. Наш урок сьогодні- це творче дослідження
однієї із важливих функцій- показникової.

Iетап. Звіт першої творчої групи

Мало знати, слід і застосовувати( Гете)

План

Визначення показникової функції.

Основні властивості показникових функцій.

Графіки показникової функції з різними основами.

Визначення степеня з дійсним показником.

За допомогою кодоскопа відповідь супроводжується записами.

Контрольні запитання

(Перша творча група ставить до учнів усього класу)

Що таке ап при натуральному п ?

Як визначити степінь з дійсним показником ?

Чому дорівнює нульовий степінь числа ?

До якого вигляду можна привести функцію у=2х+2 , у=3х+2 ?

Перша творча група продовжує звіт.

Історична довідка

Термін “показник” для степеня ввів у 1553р. німецький математик
(Спочатку монах, а потім- професор) Михайль Штифель
(1487-1567).По-німецьки “показник”- Exponent, з латині
exponere-“виставляти на показ”; exponens,exponentis “що виставляється на
показ”, “той, що показується”. Штифель увів дробові й нульові показники.
Позначення ж а х для натуральних показників увів Рене Декарт (1637), а
вільно поводитися з такими самими дробовими й від’ємними показниками
почав з 1676 року Ісаак Ньютон. Степені з довільними дійсними
показниками, без будь-якого загального означення, розглядали Лейбніц та
Іоганн Бернуллі. 1679р. Лейбніц увів поняття експоненціальної (тт.
показникової) функції для залежності у=а х та експоненціальної кривої
для графіка цієї функції. Коротке найменування “експонента” відображено
в одному з позначень: а=ехра х. Через ехр(х) позначається конкретна
експонента- з показником а=е=2,71828…, яка введена в багато мов
програмування.

“Мозковий штурм”

Працюють усі учні класу. Завдання з дидактичного матеріалу. Лідери
завчасно підготовлені у правильності відповідей і тому допомагають
учителеві проводити оцінювання в підсумку уроку.

Iетап. Звіт другої творчої групи

Тема: Показникові рівняння і способи розв’язання.

Без рівняння немає математики як засобу пізнання.

План звіту

Означення показникових рівнянь і нерівностей.

Способи розв’язання показникових рівнянь

Рівняння і нерівності, в яких невідоме перебуває в показнику степеня,
називаються показниковими.

На стенді найпростіші показникові рівняння вигляду:

має розв’язок не має розв’язків

, то рівняння не має розв’язку.

2.Способи розв’язання

а) Спосіб приведення рівняння до спільної основи, тобто якщо а f(x)=а
g(x), f(x)=g(x)

б) Спосіб приведення рівняння до спільного показникака, тобто якщо а
f(x)=b f(x), то f(x)=0

Показникові рівняння, права частина яких, як і ліва, уже подана у
вигляді степеня числа а: тобто, якщо а x=а с, то x=c.

Аналогічно розв’язуються рівняння, обидві частини яких- степені однієї й
тієї самої основи з показниками, що мають невідоме. Цей перехід у
рівнянні називають “відкиданням основ”.

Приклад 1. Розв’язати рівняння: 7sin x=7.

Розв’язання:

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

10х=10 3х-4, х=3х-4, 2х=4, х=2.

Выдповыдь:2

в) Спосіб винесення спільного множника за дужки з найменшим показником.

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

3 2х-3 -3 2х-2 + 32х=675

Розв’язання

а) Спільна основа — 3;

б) Винесемо спільний множник 32х-3 за дужки:

32х-3=33

2х-3=3

2х=6

х =3.

Відповідь:3

Г)Спосіб заміни

* Розв’язати рівняння:

32х-3-3 2х-2 + 3 2х = 675

Розв’язання

Ми бачимо, що не тільки основа всіх доданків у лівій частині однакова,
але й показники відрізняються один від одного на постійні числа. Один із
цих доданків можна позначити як у, зручно взяти перший доданок, тоді не
доведеться мати справу з дробами: у=32х-3.Після заміни отримуємо лінійне
рівняння відносно у:

у=3у+27у=675.

Тепер початкове рівняння зводиться до найпростішого:

32х-3 =33

2х-3=3

2х=6

х=3.

Відповідь: 3.

** Способи приведення показникового рівняння через заміну до
квадратного.

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

4-х -0,5 х-1=8.

Розв’язання

Приведемо всі степені до основи 2:

2-2х- 22-х-8=0

Введемо заміну змінної у=2-х>0;

у2-2у-8=0.

Корені цього рівняння

у1= -2 ( не задовольняє умову у>0), у2=4.

Отже, 2 –х=4; -х =2, х = -2.

Відповідь: -2.

д) Спосіб розв’язування показникових однорідних рівнянь.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

3.16 х+2 .81х=5 .36х.

Розв’язання

Використовуючи властивості степенів, запишемо степені через основу 4 чи
9. Отримуємо:

Спосіб полягає в тому, що обидві частини рівняння ділимо на степінь з
найбільшим показником 9 2х чи 4 2х.

отримуємо: 3у 2-5у+2=0.

.

е) Графічний спосіб.

Приклад 6. Розв’язати рівняння графічно: 2/ х/=8.

Розв’язання

у =2 /х/- парна показникова функція, тому її графік симетричний відносно
осі OY.

у =8 — рівняння прямої, що проходить через точку (0;8), паралельно до
осі OX. (Див. рис.)

Відповідь:-3;3.

III етап. Звіт третьої творчої групи

Тема: Від рівняння до нерівності.

Пам’ятайте: якщо хочете навчитися плавати, то сміливо заходьте у воду, а
якщо хочете навчитися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх.

Д. Пойа

План

Монотонність показникової функції.

Найпростіші нерівності.

Від рівняння до нерівності.

1. Уміння розв’язувати показникові нерівності складається з уміння
розв’язувати алгебраїчні (раціональні та ірраціональні) нерівності,
вміння розв’язувати показникові рівняння та міцних знань властивостей
показникової функції у=а х.

а х < а с (>)

а>1 0< а <1 х<с х>с

(>) (<) ах < ас ( > )

а>1 0< а < 1 х < с х > с

( > ) ( < ) (0,3) 2. Розв’язання За допомогою методів інтервалів, розв’яжемо останню нерівність: + - + Прикла 8. Розв’язати нерівність: 4 –х – 0,5 -1 < 8. Розв’язання Приведемо всі степені до основи 2: 2 2х – 2 1-х – 8 < 0. Нехай у= 2 –х, причому у>0, тоді нерівність (1) має вигляд у 2 -2у – 8 <0. Розв’язавши отриману квадратну нерівність, маємо, що у є (-2; 4). Оскільки у набуває тільки додатних значень, то у<4;2–х<4;2-х <4; х> -2.

).

Такий міцний зв’язок між розв’язками нерівностей і відповідних рівнянь
існує для більшості показникових нерівностей. Для уже розв’язаних на
уроці рівнянь розглянемо такі ж нерівності.

Розв’язати нерівності. ( Дидактичний матеріал)

Приклади

;

IV етап. Звіт четвертої групи

Тема. Показникова функція у графіках.

О, людино! Чи відчула ти, звідки

Так несподівано, в єдину мить

твоїх великих сил

З’явилось Чудо!

Е. Верхарн, бельгійський поет

Побудувати графік функції:

у=3 х.

у= 3 /х/ .

у= 3 /х-2/ .

у= 3 /х / — 2 .

Побудову графіків учні роблять на завчасно підготовлених систем
координат, учні під час побудови застосовують елементарні перетворення
графіка функції у=3х.

V етап. Звіт п’ятої творчої групи

Тема: Використання показникової функції в різних фізичних процесах, в
галузях техніки і в природі

О світе,зрозумій ! Співцем – у сні – Відкрити

Закон зірки і формула квітки!

Радіоактивний розпад

М= М 0 а k t – загальна формула, що характеризує радіоактивний розпад.
Під час радіоактивного розпаду маса М речовини змінюється з плином часу
t (років), М 0 – початкова маса речовин; k,а – постійні величини для
цієї речовини.

, якщо в початковий момент часу t0 Т — період напіврозпаду (проміжок
часу, протягом якого початкова кількість речовин зменшується вдвічі).
Наприклад, Т радію =1600 років, Т урану = 238 – 4,5 млрд років, Т
цезію=137-31, Тйоду=8 діб

2. Розмноження бактерій

Колонія живих організмів (зокрема, бактерії) зростає в результаті
розмноження. Якщо за рівні проміжки часу число живих організмів
збільшується в одне й те саме число разів, то число N організмів по
закінченні часу t після початку спостережень виражається формулою N=na
t,де a – постійна величина, що характеризує швидкість росту даної
колонії, де а>1 це число залежить від біологічного виду організмів та
від умов зовнішнього середовища.

Наприклад, для бактерії, що є збудником холери, число а близьке до 4.

3. Приріст деревини

Дерево росте так, що кількість деревини в початковий момент збільшується
з часом за законом m=m 0 a k t, m 0 – кількість деревини в початковий
момент, k – деяка постійна, t – час у роках, який відраховується з
моменту, коли об’єм деревини був V.

4.Зміни атмосферного тиску

Атмосферний тиск вимірюється залежно від висоти над рівнем моря за
законом Р=Р0 а h, де Р 0 – атмосферний тиск над рівнем моря, а – деяка
постійна при t=20 0, величина h=7,7 км (залежить від температури).

5. Ріст населення

Змінна кількість населення у країні протягом невеликого проміжку часу з
точністю подається формулою N=N0 e t, N – число людей при t=0, N 0 –
число людей на момент часу t,е – деяка постійна.

6. Закон Стефана-Больцмана

Здатність до випромінювання абсолютно чорного тіла пропорційна
четвертому степеню його температури.

7. Об’єм кулі є кубічною функцією його радіуса

Підсумок уроку

Успіх приходить до того, хто мислить категоріями успіху. Діти, ви
отримали тестові завдання. Нехай працюють на вас глибини вашої
свідомості. Про результати роботи дізнаєтесь у свого лідера групи.

Лідер перевіряє й оцінює їх. Результати передаються вчителю.

Дидактичний матеріал до уроку-семінару “ Панорама показникової функції ”

“Мозковий штурм”

1.Які із функцій є показниковими ?

а) у= 2 х , б) у=х 3,

в) у= (-5) х , г) у=(П )х.

2.Запишіть вираз через степінь з показником х:

а) 2 х+1; б) 3 х+2;

в) 4 2х; г) 4 2х-3.

3.Розставте в порядку зростання:

4.Порівняйте х та у :

а) 2 х >2 у; б) 0,2 х<0,2 у. 5.Чи є серед значень функції у=(0,5) х: а) найбільше; б) найменше ? 6. Знайдіть значення у=3 х, якщо: а) х= - 1 б) х=2. 7.Знайдіть область значень функції: а) у=2 х+ 6 ; б) у=(0,2) /х/+2; в) у=3 х+1. 8.Які функції зростаючі ? а) у=(0,5) х; б) у=5 х; в) у=0,7 х; г) у=? х. 9. Які із зазначених вище функцій спадні ? 10. Подайте вирази у вигляді степеня: а) 2 х . 2 у; б) 2 х . 3 х; в) (2 х) у; г) 2 х : 5 х. 11. Чому дорівнює х ? а) 2 х =1; б) 2х =2; в) 2 х =0,5; г) 2 х =4. Тестування до уроку-семінару “Програма показникової функції” 1. Чи зустрічається серед значень функції у=2 х найбільше або найменше значення? а) Так; б)Ні. 2. Які твердження правильні для у= 2 х та у= 0,5 х ? а) Функції мають однакові властивості; б) функція у=2 х зростаюча, функція у=0,5 х – спадна; в) функція у=2 х спадна, функція у=0,5 х – спадна. 3. Порівняйте 0,5 х>0,5 у :

а) х < у; б) х >у ; в) х = у.

4. Як отримати із графіка у=2 х графік у=0,5 х?

а)Графіки симетричні відносно осі ОХ;

б) графіки симетричні відносно осі ОY;

в) графіки симетричні відносно прямої у=х.

5.Порівняйте основи а 10 >а 15:

а) а>1; б) а<1; в) а=1. 6. Визначте, які із показникових функцій спадні ? а) у=0,5 х; б) у=? х; ; г) у= 3 –х. 7. Визначте, які із показникових функцій зростаючі ? а) у= 0,5 х б) у= ? х; ; г) у= 3 –х. 8. Які висновки можна зробити щодо показника х, якщо 5 х =10 ? а) х >1; б) х <1. 9. Яка область значення функції у= а cos x., де а >0, а = 1.

;

в) інша відповідь.

10. Яке найбільше значення функції у=? sin x.

.

11. Розв’яжіть рівняння: 15 х — 5 х+ 6 =1.

а) 2 і 3; б). -2 і – 3;

в) інша відповідь.

12. Розв’яжіть рівняння: 2 /х-2/ =2.

а) 1 ; 3; б) – 2; в) немає розв’язку.

Система одна — способи різні

Епіграф:

Людина, яка вивчає алгебру,часто корисніше розв’язати одну і ту саму
задачу трьома і більше способами, ніж розв’язати три – чотири різні
задачі.

Розв’язуючи одну задачу різними способами,можна шляхом порівняння
з’ясувати, який з них коротший та ефективніший .Так набувається досвід.

У. Сойєр

Мета: формувати в учнів навички розв’язування систем лінійних рівнянь
різними способами, навички самоконтролю і самоорганізації; розвивати
логічне мислення, вміння вибирати раціональний спосіб розв’язування;
виховувати культуру математичних записів, інтерес до математики.

Тип уроку: урок формування вмінь і навичок.

I. Оголошення теми, мети і завдань (учителем)

II. Ознайомлення з планом уроку, з правилами роботи на занятті

III. Визначення учнями очікуваних результатів (сподівань) від уроку їх
визначають самі учні і висловлюють вголос перед класом.

IV. Експертиза рівня інформованості учнів з теми уроку

1) “Мозкова атака”

На окремому аркуші кожен учень індивідуально записує все, що пригадає
про способи розв’язування системи лінійних рівнянь (2 хв.). (На даному
етапі учні повинні встановити рівень власного знання про способи
розв’язування систем рівнянь.)

По закінченню часу збираю аркуші. Одержана інформація дає мені змогу
з’ясувати й оцінити рівень початкового розуміння кожним учнем того чи
іншого питання про способи розв’язування систем лінійних рівнянь.
Йдеться не про оцінку в балах, що заноситься до журналу. Це об’єктивна
картина готовності учнів до уроку.

2) “Мозкова атака” в групах (до 3хв)

Кожен учень вибирає собі партнера для обговорення цього ж питання. І в
наступні 2- 3 хв два учні записують спільний варіант відповіді на
аркуші. На цьому етапі відбувається обговорення та обмін думками в
парах, внаслідок чого формується новий збагачений варіант. Аркуші знову
збираю.

в) “Мозкова атака” в групах (до 3хв)

Учні об’єднуються в групи по 4 учні і на великих аркушах за “столом
співпраці” записують колективний варіант відповіді.

г) Узагальнення результатів “Мозкової атаки”

Кожна група вивішує свої аркуші і по черзі зачитує те, що вони написали,
а інші слухають і визначають рівень досягнень, проставляючи “+” (є) чи
“–” (немає). Обговорення і критика представленого варіанта не
допускається. “Не оцінювати, а цінувати думку кожного”.

V. Формування ( набуття) практичних навичок

1) Робота за “столом співпраці” в групах

На окремих аркушах учні одержують завдання, де записані системи лінійних
рівнянь. Вони повинні за 2-3хв дослідити і вказати спосіб розв’язання
запропонованих систем. Кожна система оцінюється трьома балами.

спосіб підстановки або графічний спосіб

2) Робота в групах

Учні одержують одну і ту ж систему рівнянь.

Способом жеребкування витягують назву одного із способів системи і
розв’язують її вибраним способом на великому аркуші паперу, потім
представляють свій розв’язок і вивішують його на дошку.

Учень даної групи повинен знати відповіді до запитань, які можуть
поступити від інших учнів класу.

Можливі способи:

а) Спосіб підстановки

Відповідь: ( 2; -2).

б) Спосіб додавання

3х=6, х=2.

Відповідь: ( 2; — 2).

в) За допомогою формул Крамера

Відповідь: ( 2; — 2).

х 2 -4

Х 0 3

у -2 4

у 6 -6

Відповідь: ( 2; — 2).

3) Індивідуальна робота

Індивідуальна робота проводиться з використанням попереднього номеру
учня в класному журналі, що дає можливість умовою одного завдання
охопити кожного учня індивідуальним варіантом; прогнозуються відповіді
кожного учня, економиться час на перевірку і оцінку роботи кожного учня.
N- порядковий номер учня в журналі.

Відповідь: ( 1;1).

Кожен учень повинен розв’язати систему всіма відомими йому способами та
одержати одну й ту ж відповідь ( таким чином виявляються індивідуальні
прогалини у застосуванні того чи іншого способу розв’язування систем
лінійних рівнянь ).

Якщо N = 1, то

Відповідь: ( 1; 1).

Якщо N = 2, то

Відповідь: ( 1; 1).

VI. Самоконтроль і самооцінка

Учні розв’язують за вибором чотири системи, які оцінюються по 3 бали,
або кожну систему розв’язують різними способами. I проводять
самооцінкусвоєї роботи.

VII. Підсумок

Чи досягли ви того, чого очікували ?

Пошук способів розв’язування задач – все це важливі складові на шляху до
розвитку творчих здібностей учнів. І вони вимагають постійного
тренування. Кожна самостійно розв’язана задача формує характер. Тому
важливо, щоб учні привчались розв’язувати одне і те ж саме завдання
різними способами і вміли визначати найкращий з них, вдало вибраний
спосіб, який може швидко привести до бажаного результату.

VIII. Учням дається алгоритм розв’язання систем рівнянь з трьома
змінними методом Гаусса та за допомогою формул Крамера (за бажанням)

IX. Домашнє завдання Повторити способи розв’язання систем та розв’язати
вдома решту із запропонованих систем на уроці.

PAGE 20

-3

3

8

0

у

у=8

х

0

1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *