Означення похідної. Правило знаходження похідної (реферат)

математика

Означення похідної. Правило знаходження похідної.

Нехай функція у=f(х) задана на деякому інтервалі (а; b). Візьмемо
довільну точку х0, що належить цьому інтервалу. Виконаємо відомі чотири
кроки.

1. Надамо значенню х0 довільного приросту ?х (число ?х може бути як
додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка х0+?х належала
інтервалу (а,b).

2. Обчислимо в точці х0 приріст ?у = ?f(х0) функції:

?у = ?f(х0)= (х0+?x)-f(x0)

4. Знайдемо границю цього відношення при ?x?0, тобто

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y = f(x) у
точці x0 і позначають f’(x0) а^° y’.

Похідною функції у = f(x) у точці х0 називається границя відношення
приросту ?у функції до приросту ?x аргументу за умови, що приріст A.V
аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

Похідна показникової функції. Вивчаючи показникову функцію, ми
переконалися в тому, що графіки показникових функцій мають вигляд
гладких кривих (без зломів), до яких у кожній точці можна провести
дотичну. Відомо також, що існування дотичної до графіка функції в точці
рівносильне її диференційованості у цій точці. У вищій математиці
доведено, що показникова функція диференційована в кожній точці, і
похідну показникової функції за основою е обчислюють дуже просто, а
саме:

(8)

Нагадаємо, що ln — натуральний логарифм, який обчислюють за формулою

ln x = loge (9)

За основною логарифмічною тотожністю для будь-якого додатного числа а
виконується рівність

а = еln a. (10)

Тому будь-яку показникову функцію можна записати у вигляді

ax=еx ln a. (11)

Для цього треба піднести до степеня jc обидві частини рівності (10).

За допомогою формули (11) і застосовуючи правило обчислення похідної
складної функції, одержуємо формулу похідної будь-якої показникової
функції для будь-якого показника х

(ax)’ = (еx ln a)’ = еx ln a(xln a)’ = аx ln а.

Отже,

(аx)’ = аx ln а.

Похідна логарифмічної функції. Розглянемо функцію у = ln x знайдемо її
похідну. Доведемо, що при будь-якому х > 0 виконується рівність

. (12)

За основною логарифмічною тотожністю x = eln x при всіх додатних .V у
цій рівності ліворуч і праворуч стоїть одна і та сама функція (визначена
на множині R+). Тому похідні х і In x рівні,

тобто

x’ = (eln x)’ (13)

Для знаходження похідної правої частини рівності скористаємося правилом
знаходження похідної складної функції і тим, що показникова функція ех
диференційована у кожній точці та (аx)’ = еx. Переконаємося, що
логарифмічна функція диференційована у кожній точці. Справді, графіки
функцій y=logax і у = ах симетричні відносно прямої у = х.

Оскільки показникова функція диференційовна у будь-якій точці, а її
похідна не перетворюється в нуль, то графік показникової функції має
негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної
функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці, що рівносильно
диференційованості логарифмічної функції на області її визначення. Отже,

(eln x)’ = eln x ln’x = xln’x

Взявши до уваги, що x’ = l, та підставивши знайдений результату
рівність (13), одержимо l =x ln’x, звідки

.

, то

Отже,

а) у = ln3х; б) у = ln(3х +5)

Розв’язання:

.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *