.

Одновимірні випадкові величини (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
845 8287
Скачать документ

Реферат на тему:

Одновимірні випадкові величини

Поняття події в теорії ймовірностей являє собою абстрактну модель
певної якісної ознаки, що відбиває лише два альтернативні судження: є
подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії
ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова
величина — абстрактної моделі кількісної ознаки.

1. Дискретні та неперервні випадкові величини.

Закони розподілу їх імовірностей

ставить у відповідність певний елемент одновимірного простору R1 або
n-вимірного простору Rn.

відображає множину ? на одновимірний простір R1, випадкову величину
називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на Rn, то
випадкову величину називають n-вимірною (системою n випадкових величин
або n-вимірним випадковим вектором).

Схематично одновимірну випадкову величину унаочнює рис. 19.

Рис. 19

Отже, величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення
експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого
можливого числового значення з певною ймовірністю.

Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку
величину називають дискретною. У противному разі її називають
неперервною.

є дискретною, а тому й випадкова величина — поява одного з чисел
множини ? — буде дискретною.

Приклад 2. Вимірюється сила струму за допомогою амперметра. Результати
вимірювання, як правило, округлюють до найближчої поділки на шкалі для
вимірювання сили струму. Похибка вимірювання, що виникає внаслідок
округлення, являє собою неперервну випадкову величину.

Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X,
Y, Z, … , а їх можливі значення — малими х; у; z, … .

Для опису випадкової величини необхідно навести не лише множину можливих
її значень, а й указати, з якими ймовірностями ця величина набуває того
чи іншого можливого значення.

З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей.

Співвідношення, що встановляє зв’язок між можливими значеннями
випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом
розподілу випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна задати в
табличній формі або за допомогою ймовірнісного многокутника.

У разі табличної форми запису закону подається послідовність можливих
значень випадкової величини Х, розміщених у порядку зростання, та
відповідних їм імовірностей:

, то необхідною є така умова:

(61)

Рівність (61) називають умовою нормування для дискретної випадкової
величини Х. Наведену таблицю називають рядом розподілу.

Приклад 3. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано
таблицею

Х = хі –4 1 2 5 9

Р(Х = хі) = рі 0,1 0,1 0,5 р4 0,2

Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х = х4 = 5.

Розв’язання. Згідно з умовою нормування (61) маємо:

Приклад 4. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано
таблицею

Х = хi 2,5 3 4,5 5 5,5 6

Р(Х = хі) = рі a 2а а 3а а 2а

Знайти ймовірності можливих значень випадкової величини Х: х1 = 2,5; х3
= 4,5; х4 = 5; х5 = 5,5; х6 = 6. Обчислити ймовірності таких випадкових
подій: 1) Х tvAAIaeae 0 2 b n p – ? ? ? ? Ue TH gdue_  o gdue_  gdue_  gdue_  j gdue_  gdue_  F’GAGoeoeoUoeOoAooooo·« gdue_  gdue_  gdue_  gdue_  `„oethgdue_  gdue_  – 4) = P(X 13 = P(X > 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9)
+

+ P(X = 13) = 0,1 + 0,2 +0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,2 = 1.

Компактно F(x) можна записати в такій формі:

Графік функції F(x) зображено на рис. 23.

Рис. 23

Приклад 7. Маємо три ящики. У першому містяться 6 стандартних і 4
браковані однотипні деталі, у другому — 8 стандартних і 2 браковані
деталі, а в третьому — 5 стандартних і 5 бракованих. Із кожного ящика
навмання беруть по одній деталі. Побудувати закон розподілу ймовірностей
дискретної випадкової величини Х — появи числа стандартних деталей серед
трьох навмання взятих; визначити F(x) та побудувати графік цієї функції.

Розв’язання. Серед трьох навмання взятих деталей число стандартних може
бути 0; 1; 2; 3.

У табличній формі закон розподілу дискретної випадкової величини має
вигляд:

Х = хі 0 1 2 3

Р(Х = хі) = рі р1 р2 р3 р4

Обчислимо ймовірності р1, р2, р3, р4. Із цією метою позначимо Ас1 і Аб1
випадкову подію, що полягає відповідно в появі стандартної деталі з
першого ящика і появі бракованої деталі з першого ящика. Тоді випадкові
події Ас2, Аб2, Ас3, Аб3 означають появу відповідно стандартної та
бракованої деталей із другого і третього ящиків. Імовірності цих подій
такі:

Оскільки випадкові події Ас1, Ас2, Ас3, Аб1, Аб2, Аб3 є незалежними,
маємо:

Перевіримо виконання умови нормування:

Умова нормування виконується. Отже, закон розподілу ймовірностей
побудовано правильно. Запишемо його в табличній формі:

хі 0 1 2 3

рі 0,04 0,26 0,46 0,24

Інтегральна функція має вигляд:

Графік функції F(x) зображено на рис. 24.

Рис. 24

Приклад 8. Закон розподілу неперервної випадкової величини Х задано
функцією розподілу ймовірностей

Побудувати графік функції F(х) і обчислити Р(–1  0), а на
проміжку [2; 5] за аналогічним законом f(x) = k2x + b2 (k2 ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE 1 PAGE

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020