Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах(пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.

План

Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах

Подвійний інтеграл в полярних координатах

Обчислення подвійного інтеграла

 одержимо подвійний інтеграл

.

1. Обчислення подвійного інтеграла

в декартових координатах

. Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні
застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу

,                                           (11.16)

               Рис.11.4                                      Рис.11.5

 —  рівняння  площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу
для обчислення подвійного інтеграла.

.

, в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:

.

, рівняння яких:

.

 . Отже, інтеграл

, маємо:

.                                 (11.17)

.

                                          Рис.11.6

 її виразом (11.17), дістаємо

або в зручнішій формі

.                   (11.18)

 місцями, можна вивести й формулу:

.                    (11.19)

            З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла
(що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить
від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

 буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис.
11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в
зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

).

.

 в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

, на кілька правильних областей.

            За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл
(11.19).

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл

,

обмежена лініями (рис. 11.7).

. Крива входу

                                       Рис.11.7

. За формулою (11.18) маємо:

.

). Тоді:

.

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах

.

буде:

,

або

,

.

. Тоді інтегральна сума запишеться так :

.

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції

                     Рис.11.8                                   
Рис.11.9

, а тому, переходячи до границі, дістанемо

.        (11.20)

 називається елементом площі.

.

            Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.

.

, дістанемо

.                  (11.21)

, то межі інтегрування сталі за двома змінними

.                 (11.22)

, дістаємо

                                Рис.11.10

,                (11.23)

.

, тобто , якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то

.          (11.24)

            Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової
системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:

 у полярних координатах;

;

;

;

5) обчислити повторний інтеграл.

 частина кільця (рис. 11.10).

            Р о з в ‘ я з о к.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *