Пошукова робота на тему:
Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.
План
Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
Подвійний інтеграл в полярних координатах
Обчислення подвійного інтеграла
одержимо подвійний інтеграл
.
1. Обчислення подвійного інтеграла
в декартових координатах
. Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні
застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу
, (11.16)
Рис.11.4 Рис.11.5
– рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу
для обчислення подвійного інтеграла.
.
, в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:
.
, рівняння яких:
.
. Отже, інтеграл
, маємо:
. (11.17)
.
Рис.11.6
її виразом (11.17), дістаємо
або в зручнішій формі
. (11.18)
місцями, можна вивести й формулу:
. (11.19)
З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла
(що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить
від порядку інтегрування за різними аргументами:
.
буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис.
11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в
зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:
.
Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:
).
.
в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.
, на кілька правильних областей.
За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл
(11.19).
Приклад. Обчислити подвійний інтеграл
,
обмежена лініями (рис. 11.7).
. Крива входу
Рис.11.7
. За формулою (11.18) маємо:
.
). Тоді:
.
2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах
.
буде:
,
або
,
.
. Тоді інтегральна сума запишеться так :
.
У правій частині стоїть інтегральна сума для функції
Рис.11.8
Рис.11.9
, а тому, переходячи до границі, дістанемо
. (11.20)
називається елементом площі.
.
Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.
.
, дістанемо
. (11.21)
, то межі інтегрування сталі за двома змінними
. (11.22)
, дістаємо
Рис.11.10
, (11.23)
.
, тобто , якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то
. (11.24)
Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової
системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:
у полярних координатах;
;
;
;
5) обчислити повторний інтеграл.
частина кільця (рис. 11.10).
Р о з в ‘ я з о к.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter