Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією(пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою
підінтегральною функцією.

План

Невласні інтеграли з безмежними границями

Невласні інтеграли від необмежених функцій

Невласні інтеграли та їх застосування

Усі поняття, зв’язані з інтегралами, що розглядалися раніше, як правило,
стосувалися інтегрованих функцій на замкненому інтервалі. Проте в
багатьох застосуваннях доводиться мати справу з інтегралами або від
необмежених функцій на нескінченному замкненому інтервалі, або з
інтегралами на нескінченному проміжку інтегрування. В останніх двох
випадках інтеграли називаються невласними.

1. Невласні інтеграли на необмежених інтервалах

, який називається невласним інтегралом на  необмеженому інтервалі.
Якщо величина цього інтеграла скінчена й існує, то цей інтеграл
називається  збіжним. Якщо величина цього інтеграла нескінченна або не
існує, то інтеграл називається розбіжним.  Так, наприклад,

  

Отже, дані інтеграли є збіжні.

 — розбіжний.

, який можна подати так:

Наприклад,

 —

збіжний інтеграл, а інтеграл

 

розбіжний.

. Його можна

трактувати так:

  і позначають символом

Приклад.

не існує,

Критерії  збіжності. Абсолютна збіжність.

.

Питання збіжності або розбіжності невласного інтеграла є досить важливим
у застосуваннях. Якщо в результаті якихось досліджень одержали невласний
інтеграл, перш ніж його обчислювати, потрібно встановити, існує він чи
ні, буде збіжним чи розбіжним. Якщо він не існує або розбіжний, то його
обчислення не потрібні. Кожен, хто візьметься за його обчислення, не
дослідивши на збіжність, марно витратить час.

Правильні такі твердження:

.

 не прямує ні до якої границі: інтеграл не існує.

 виконується нерівність

 — збіжний.

Д о в е д е н н я.

 тобто

збіжний.

.

Приклади. Дослідити збіжність інтегралів:

, то

 інтеграл розбіжний.

б) Інтегруванням частинами дістанемо

 

 інтеграл збіжний абсолютно, бо

 інтеграл розбіжний.

, виконуватиметься і дана нерівність.

 .

 заданий інтеграл розбіжний.

На основі теореми порівняння створено ряд конкретних критеріїв збіжності
невласних  інтегралів. Заслуговує на увагу і такий критерій збіжності:

50. Якщо існує границя

 ,

, а із розбіжності першого інтеграла при C > 0 випливає розбіжність
другого.

            Сформулюємо ще одну ознаку збіжності, незалежну від теореми
порівняння і застосовну навіть для знакозмінної підінтегральної 
функції.

 —

, то інтеграл

 збіжний.

З цим, а також з іншими критеріями збіжності інтегралів детальніше можна
ознайомитись в  кн. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. – Т. 3. – М., Л.: Гостехиздат, 1949.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій

 

, щоб виключити з розгляду точки розриву. В результаті одержимо

, то одержимо

 функція має розриви другого роду:

Тобто завжди можна кожний з інтегралів звести до такого вигляду, щоб
підінтегральна функція мала розрив лише на одному з кінців інтервалу
інтегрування.

 має розрив.

  і позначають

, інтеграл можна звести до того випадку, коли розрив відповідатиме
верхній границі інтегрування:

 , або

. Маємо

. Тому інтеграл запишемо так:

.

Обчислимо спочатку перший інтеграл

 зведе інтеграл до вигляду

Тут варто зазначити, що підстановка звела невласний інтеграл до
інтеграла у звичайному його розумінні.

Аналогічно другий інтеграл

 Заданий інтеграл виявився збіжним.

Ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених функцій.

 , бо всякі інші випадки, як це було показано раніше, можуть бути
зведені до розглядуваного тут.

Для такого інтеграла є правильними такі твердження (дуже схожі до тих,
що розглядалися у процесі вивчення інтегралів з нескінченними
границями):

, то інтеграл

 

.

.

 — абсолютно інтегрованою.

, невласний інтеграл

 (теорема порівняння).

 , маємо:

 цей інтеграл розбіжний.

 він розбіжний.

.

На основі твердження п. 60  очевидним стає факт збіжності інтегралів

Жоден з цих інтегралів не виражається через елементарні функції в
скінченому вигляді.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *