Неперервні функції (реферат)

Реферат з математики

Тема: Неперервні функції

1. Неперервність функції в точці і на відрізку

х .

х = х2- х1.

у.

(x1) .

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Дамо два означення
неперервності функції в точці, які досить часто використовуються.

(х) називають неперервною при х = х0 або в точці х0.

0.

(х) називають неперервною при х = х0, якщо:

(х) існує при х = х0 та в деякому околі точки х0;

;

незалежно від способу прямування х до х0,

.

Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.

(х) неперервна в точці а справа.

(х) в точці х = b неперервна зліва.

(х) називають неперервною на відрізку [а,b].

2. Класифікація розривів функції

Якщо при деякому х = x1 будь-яка із умов неперервності означення 2 не
виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку x1
називають точкою розриву функції (дивись Мал. 1.).

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно показати на
графіку функції.

, тобто не існує скінченної границі.

Графік функції, що зображений на Малюнку 1 має розриви в точках х1 та х2

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовні:

(х) не визначена в точці х, або визначена, але мають місце
співвідношення

то розрив в точці х1 називають ліквідовним. В цьому випадку функцію
можна визначити або змінити її значення в точці х, так, щоб виконувались
рівності

2) неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.

називають стрибком функції;

, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На Малюнку 1 функція має розрив першого роду в точці х1, її стрибок
дорівнює b — а, а в точці х2 функція має розрив другого роди.

3. Властивості неперервних функцій та дії з ними

Приведемо без доведень властивості неперервних функцій.

(х) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку,
тобто існують такі числа M та m, що

[а, b].

Теорема 2. Усі основні елементарні функції неперервні в кожній точці
своєї області існування.

Теорема 3. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості доданків та
множників) та частка функцій, неперервних при x = х0 (в останньому
випадку дільник в цій точці не повинен дорівнювати нулю) є також
неперервна функція при х = х0.

Теорема 4. Неперервна функція від неперервної функції є також неперервна
функція.

Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї
області існування.

Мал. 1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *