Найпростіші дії з матрицями(реферат)

Найпростіші дії з матрицями

:

, потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Означення. Сумою двох матриць

є матриця

такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати
і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

(1)

, які можна подати у вигляді

.

, яке можна записати так:

.

Позначивши

, (2)

подамо це лінійне перетворення у вигляді

,

або

……………………………………….

має вигляд

(3)

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком
матриць В та А:С=ВА.

матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці
А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців
першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

.

Лінійний n-вимірний простір

План:

Лінійний n-вимірний векторний простір.

Базис.

Власні значення та власні вектори матриць.

Векторний простір.

називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або
вектором-рядком:

.

називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається
розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до
запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.

.

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх
відповідні координати.

.

можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину
дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у
тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають
скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його
координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, …,
0), або так само, як число нуль – знаком 0. Вектор –а = (-а1 , -а2, …,
-аm) називається протилежним вектору а = (а1 , а2, …, аm).

вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому
вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо
вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні
вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b
відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b.
(рис. 1)

Рис. 1

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх
утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем
вектора a, а кінець – із кінцем вектора b, являтиме собою шукану
різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)

Рис. 2

— протилежний напряму а (рис. 3).

Означення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати
якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

.

на відповідні координати вектора а:

.

Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні
координати пропорційні:

називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система
векторів цього простору. Так систему векторів:

.

Розглянемо дві системи векторів:

(2)

(3)

.

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них
виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну
підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

, то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на
максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків)
цієї матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість
лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Звязок між базами.

має базис:

(4)

, то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає,
що

(5)

.

задано два базиси

(6)

(7)

Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна
записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді

(8)

, стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому
базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е’.

Якщо розглянути дві матриці е і е’, стовпчиками яких будуть компоненти
векторів відповідно старого е і нового е’ базисів, то рівність (8) можна
записати у матричному вигляді

. (9)

З другого боку, якщо T’ – матриця переходу від басилу (7) до басилу (6),
то маємо рівність

(10)

Використовуючи (9) і (10) маємо:

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до
іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці
переходу від одного до іншого взаємно обернені.

в цих двох базисах дає формула:

(11)

Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність

(12)

яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е’.

Власні числа і власні вектори матриці.

, де Е — одинична матриця називається характеристичною матрицею для
матриці А.

| називається характеристичним поліном матриці А, а його корені
називаються власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні
поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

, або спектром матриці А.

, тобто:

(1)

— власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

, в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

має простий спектр.

, в якому матриця лінійного перетворення А буде набувати найпростішого
діагонального вигляду.

Розв’язання лінійних

рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає
в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

(1)

до трикутного вигляду

;

………….. (2)

.

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення
виконаємо в таблиці:

х1 х2 …
хn 1

що дає змогу виявляти помилки.

Поділивши перший рядок на а11, позначимо

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого
рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.

Позначивши

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1 х2 …
хn 1

.

Позначивши

,

і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю
коефіцієнтів:

х1 х2 х3
… хn 1

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:

х1 х2 х3 …
хn-1 хn 1

. Запишемо відповідну систему рівнянь:

Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку
знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають
хn-1, і т.д.

a

b

a + b

a

b

b-a

а

0,5а

-0,5а

0,5а

………………………………………….

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *