Методи інтегрування
Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна
функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною
інтегрування.
Розглянемо, наприклад, інтеграл ?sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом
основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування —
х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну
формулу
?sin udu=- cos +С
Заданий невизначений інтеграл ?f(x)dx можна знайти, якщо якимось чином
вдається звести його до одного із табличних інтегралів.
Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла
використовують методи: безпосереднього інтегрування, заміни змінної
(підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого
інтеграла за допомогою довідника.
Ознайомимось з основними методами інтегрування.
Метод безпосереднього інтегрування
сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f
має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але
її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком
або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.
Приклад. Знайти інтеграли
Розв’язування.
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента
степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;
У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної
інтегрування х на множник 1/2
У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументи
степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним
доданком (– 7).
Метод підстановки (заміни змінної)
Цей метод містить два прийоми.
a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ?f(x)dx зробити підстановку x
= ?(t), тоді має місце рівність
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової
змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб
функція х – ? (t) мала обернену t = ?(х).
Приклад. Знайти інтеграл
Розв’язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді
Отже, одержимо
Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);
b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = ? (х) тоді має місце
Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х,
використовуючи рівність t = ? (х).
Метод інтегрування частинами
Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій,
причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).
Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).
Розглянемо диференціал добутку цих функцій.
d(uv) = udv + vdu
Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо
Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо
Отже, одержали формулу
яку називають формулою інтегрування частинами.
v = x
За формулою інтегрування частинами (4) одержимо
Література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів –
Київ: ЦУЛ, 2002 – 400 с. Серія: Математичні науки.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
