Реферат на тему:
Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.
-го порядку зі сталими коефіцієнтами
(5.26)
.
Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.
(5.27)
.
Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в
вигляді
(5.28)
– деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні).
Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо
(5.29)
, тобто
(5.30)
Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені
характеристичимичислами Д.Р. (5.27).
Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв’язків.
дійсні і різні.
дійсних частинних розв’язків знайдемо згідно формулє
Ці розв’язки являються лінійно незалежними. Дійсно
– різні.
В цьому випадку загальний розв’язок має вигляд
(5.31)
в області
(5.32)
– довільні сталі.
б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є
комплексні.
. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків.
Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних
частинних розв’язків.
.
Приклад 5.6.
Знайти загальні розв’язки
Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння
Тоді
загальний розв’язок.
Приклад 5.7.
Приклад 5.8.
в) Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.
-кратний корінь характеристичного рівяння (5.30), так що
(5.33)
, продиференціюємо тотожність
(5.34)
, використовуючи при цьому формулу
Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу
Лейбніца.
де
.
Маємо
Використовуючи (5.33) запишемо
тобто функції
(5.35)
.
дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)
лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд
(5.36)
Приклад 5.9.
Розв’язати Д.Р.
Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння
Тоді
загальний розв’язок.
Приклад 5.10.
Приклад 5.11.
,
5.3. Знаходження частинного розв’язку лінійно незалежного Д.Р. методом
невизначених коефіцієнтів.
можна знайти частинні розв’язкі Д.Р. (5.26) без квадратур.
Розглянемо Д.Р. з правою частиною
(5.37)
-постійне дійсне чи комплексне число.
Розглянемо два випадки.
не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний
розв’язок Д.Р. (5.37) шукають в вигляді
(5.38)
де
(5.39)
-ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто в цьому випадку
частинний розв’язок має туже аналітичну структуру, що і права частина
Д.Р. (5.37)
.
Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно.
Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо
Використовуючи вищенаведені формули, знищуємо
на основі них маємо
і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступінях
(5.40)
.
, тобто
(5.41)
. Його шукаємо в вигляді
(5.42)
– поліном вигляду (5.39).
Координати полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).
звідки
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях
(5.43)
.
Пипустимо, що права частина Д.Р. (5.26) має вигляд
(5.44)
).
Використовуючи формули Ейлера, обчислимо
таким чином
є сума двох функцій, які розглянуті вище.
не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний
розв’язок шукаємо в вигляді
(5.45)
-ої степені з невизначеними коефіцієнтами.
-кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок
шукаємо в вигляді
(5.46)
Приводячи (5.45) і (5.46) до дійсного вигляду, сформулюємо слідуюче
правило знаходження частинного розв’язку для вигладу (5.44).
не являється коренем характеристичного рівняння,то
(5.47)
то
(5.48)
-ої степені з невизначеними коефіцієнтами.
Приклад 5.12.
Знайти загальний розв’язок Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів
Запишемо розв’язкі однорідного Д.Р.
Знаходимо розв’язки неоднорідного Д.Р.
Отже
загальний розв’язок.
Приклад 5.13.
,то
загальний розв’язок.
Приклад 5.14.
, отримаємо
загальний розв’язок.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
