Реферат на тему:
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Рівняння вигляду
-го порядку.
Рівняння вигляду
-го порядку.
неперервні, то для рівняння
, що задовольняє початковим умовам
.
1. Лінійні однорідні рівняння.
1.1. Властивості лінійних однорідних рівнянь
.
, одержимо
І після підстановки і приведення подібних, одержимо знову лінійне
однорідне рівняння
.
.
, одержимо
І після підстановки одержимо знову лінійне однорідне рівняння
.
1.2. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь
– довільна стала, теж буде розв’язком однорідного лінійного рівняння.
– розв’язок лінійного однорідного рівняння, тобто
.
Тоді і
оскільки вираз в дужках дорівнює нулю.
теж буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.
– розв’язки лінійного рівняння, тобто
Тоді і
оскільки обидві дужки дорівнюють нулю.
– довільні сталі, також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.
– розв’язки лінійного однорідного рівняння, тобто
.
Тоді і
оскільки кожна дужка дорівнює нулю.
будуть також розв’язками цього рівняння.
є розв’язком лінійного однорідного рівняння, тобто
Розкривши дужки і перегрупувавши члени, одержимо
Комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю
дійсна і уявна частини, тобто
є розв’язками рівняння, що і було потрібно довести.
1.3. Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок
лінійного однорідного рівняння вищого порядку
називаються лінійно незалежними.
дійсних коренів.
– дійсні різні числа – лінійно незалежні.
– лінійно незалежні.
,
-раз , одержимо
.
.
лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.
з отриманими коефіцієнтами.
, розв’язок буде задовольняти умовам
, що і було потрібно довести .
На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні
умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.
.
Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння
.
є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація
також буде розв’язком.
можна розв’язати довільну задачу Коші
Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник
Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь
є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде
задовольняти довільно обраним умовам Коші.
Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює
порядку рівняння.
– лінійно незалежних розв’язків.
-го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
