Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків (реферат)

Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Рівняння вигляду

-го порядку.

Рівняння вигляду

-го порядку.

неперервні, то для рівняння

, що задовольняє початковим умовам

.

1. Лінійні однорідні рівняння.

1.1. Властивості лінійних однорідних рівнянь

.

, одержимо

І після підстановки і приведення подібних, одержимо знову лінійне
однорідне рівняння

.

.

, одержимо

І після підстановки одержимо знову лінійне однорідне рівняння

.

1.2. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь

— довільна стала, теж буде розв’язком однорідного лінійного рівняння.

— розв’язок лінійного однорідного рівняння, тобто

.

Тоді і

оскільки вираз в дужках дорівнює нулю.

теж буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

— розв’язки лінійного рівняння, тобто

Тоді і

оскільки обидві дужки дорівнюють нулю.

— довільні сталі, також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

— розв’язки лінійного однорідного рівняння, тобто

.

Тоді і

оскільки кожна дужка дорівнює нулю.

будуть також розв’язками цього рівняння.

є розв’язком лінійного однорідного рівняння, тобто

Розкривши дужки і перегрупувавши члени, одержимо

Комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю
дійсна і уявна частини, тобто

є розв’язками рівняння, що і було потрібно довести.

1.3. Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок
лінійного однорідного рівняння вищого порядку

називаються лінійно незалежними.

дійсних коренів.

— дійсні різні числа — лінійно незалежні.

— лінійно незалежні.

,

-раз , одержимо

.

.

лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.

з отриманими коефіцієнтами.

, розв’язок буде задовольняти умовам

, що і було потрібно довести .

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні
умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

.

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння

.

є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація
також буде розв’язком.

можна розв’язати довільну задачу Коші

Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник
Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь

є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде
задовольняти довільно обраним умовам Коші.

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює
порядку рівняння.

— лінійно незалежних розв’язків.

-го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *