Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)(пошукова робота)

Пошукова робота

на тему:

Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола,
парабола).

План

Канонічні рівняння кривих другого порядку

Еліпс.

Гіпербола.

Парабола.

Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярних координатах.

1. Криві другого порядку на площині

            Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій
системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм.
Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід
переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її
рівнянням.

            Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх
рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у
нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива
другого порядку описується рівнянням

,           (3.36)

 — деякі коефіцієнти.

            Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його
частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще
у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і
рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі.
Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що
описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що
всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений
Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі
останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від
еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень
є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран.
Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової
планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть,
що вона була відкрита “на кінчику олівця”.

            З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний
циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон
Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з
перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються
зубчасті еліптичні передачі (рис.3.16).

Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть
паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх
осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним
перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за
допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.

 

Рис.3.16

           

3.6.1. Еліпс

,

.

. Тоді рівняння набере вигляду

.                           (3.37)

.

. Виразимо з (3.37)

. Тоді для першої чверті матимемо

.                                       (3.38)

.

.

 — малою.

            Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей
(пропонується читачеві виконати це самостійно), одержимо

.

 і

,

— великій осі еліпса.

.

 то у першій  чверті крива опукла.

            Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер
можна здійснити його схематичну побудову (рис.3.17).

      Рис.3.17

 прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім,
тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і
буде згідно з означенням еліпсом.

            Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга
кільцевої форми (рис.3.18).

Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо
будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса.
Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля,
не еліпс, а овал.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі

.

                                           Рис. 3.18

. Тому ексцентриситет кола  дорівнює нулю.

  З останніх  двох рівнянь одержимо

.                      (3.39)

  еліпса.

Якщо ексцентриситет еліпса зменшується, то директриса  еліпса
віддаляються від нього, сам еліпс стає все більш опуклим і у граничному
випадку, коли він стає рівним нулю, директриси віддаляються на
нескінченність. Це означає, що коло не має директрис. При збільшенні
ексцентриситету еліпс стає все більше розтягнутим, а директриси при
цьому стають все ближчими до еліпса.

                                          Рис. 3.19

 і розв’яжемо квадратне рівняння

. Після цього вже легко записати рівняння дотичної.   Читачеві
пропонується довести вказаним способом, що рівняння дотичної матиме
вигляд

            Цю ж задачу можна розв’язати і за допомогою похідної.

            Р о з в ’ я з о к.  Нехай рівняння дотичної має вигляд

 у рівняння  еліпса, одержимо:

.

Після спрощення, це рівняння матиме вигляд

.

 була дотичною до еліпса, треба, щоб попереднє рівняння мало лише один
розв’язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто

.

Після скорочення на 4 матимемо

У результаті спрощень приходимо до рівняння

   

      

 до еліпса можна провести дві дотичні:

 не лежить на еліпсі. Тому безпосередньо скористатись наведеною
формулою для дотичної неможливо, бо формула виведена для того випадку,
коли точка, через

яку треба провести дотичну, лежить на еліпсі.

            Рівняння еліпса у прямокутних координатах має вигляд

.  Параметричними рівняннями можуть описуватись і криві, значно
складніші за еліпс. Наприклад, крива

не є еліпсом. Але її теж можна описати параметричними рівняннями:

.

            Вони значно простіші, ніж рівняння, задане в прямокутній
системі координат.

3.6.2. Гіпербола

мають різні знаки, то одержимо

.

            Останнє рівняння можна записати у вигляді

,                            (3.40)

 (перша чверть):

                           (3.41)

, причому при

, то крива (3.41) опукла.

  і  оцінимо різницю

.

. Тоді одержимо

.

.

На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що
зображається першим з рівнянь (3.40), якщо врахувати при цьому, що
відповідна  крива центральносиметрична (рис. 3.20).

— уявною осями гіперболи.

,

 на кривій. Запишемо різницю:

.

Після тотожних перетворень одержимо

.

           

.

                                         Рис. 3.20

 . Звідси одержуємо таке означення гіперболи.

, то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні
між собою.

— уявна одиниця.

. Як і у рівнянні еліпса, маємо

.

З цих двох рівнянь маємо

.

 називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку

, директриси розміщені між вітками гіперболи.

.

            У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах
велику роль відіграють гіперболічні функції

.

.

            Розглянемо тепер гіперболу

.

, тобто вони задовольняють рівнянню гіперболи. Тому рівняння

є параметричним рівняння гіперболи.

, що лежить на гіперболі, має вигляд

. Знайти рівняння кривої, що описується точкою перетину прямих, що
обертаються.

.

.

.

                                         Рис. 3.21

            Отже траєкторією точки перетину прямих  є рівнобічна
гіпербола.

3.6.3.Парабола

або

 ,                             (3.42)

.

.

            Крива, що описується рівнянням (3.42), називається
параболою.

            Виходячи лише з рівняння (3.42), вивчимо її властивості,
форму і побудуємо графік.

, а це означає, що відповідна крива є опуклою.

            Отже, її графік має вигляд рис.3.22.

                                  

          Рис. 3.22

 збігається з (3.42).

.

Виходячи з цього, маємо таке означення параболи: параболою називається
множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом,
і даної прямої, що називається директрисою.

.

Всі три криві (еліпс, гіпербола і парабола) визначають множину точок
площини, відношення яких від даної точки (фокуса) до віддалі від даної
точки до даної прямої (директриси) є величина стала .

           

3.6.4. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних

координатах

— дуга однієї з вказаних кривих (рис. 3.23).   Із рисунка маємо

             З останньої рівності маємо

                           (3.43)

:

 ,  то рівняння описує еліпс;

,  то рівняння описує гіперболу;

, то рівняння описує  параболу.

Універсальність полягає в тому, що одним і тим самим рівнянням
описуються  всі криві (еліпс, гіпербола і парабола). Рівнянням (3.43) 
користуються в механіці та астрономії при вивчені руху  планет.

Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними
перерізами двопорожнинного конуса. Цей факт чудово ілюструється 
рис.3.24 і вказує на джерело універсальності трьох розглянутих кривих.

                             

                  Рис. 3.23                                        Рис.
3.24

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *