Ірраціональні рівняння (реферат)

Реферат на тему:

Ірраціональні рівняння

План

1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ

2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата

3. Метод заміни

4. Виділення повного квадрата

5. Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій
частині

6. Однорідні ірраціональні рівняння

7. Розклад на множники

8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

9. Заміна радикалів новими невідомими

10. Уведення параметра

11. Рівняння з модулями

12. Системи ірраціональних рівнянь

Ірраціональним називають таке рівняння, ліва і права частини якого є
алгебраїчними виразами, хоча б один із яких ірраціональний.

Нагадаємо, що ірраціональними називають такі алгебраїчні вирази, які
крім дій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до
степеня з натуральним показником містять також і дії добування кореня
m-го степеня.

називають також радикалами.

Приклади ірраціональних рівнянь:

.

В елементарній алгебрі розглядаються лише такі ірраціональні рівняння, в
яких радикали парного степеня припускаються арифметичними
(невід’ємними), а непарного степеня — додатними або від’ємними, залежно
від знака підкореневого виразу.

Загальний метод розв’язування ірраціонального рівняння полягає в тому,
що спочатку ізолюють один радикал, а далі обидві частини рівняння
підносять до степеня, потім знову ізолюють радикал і т. д. Будь-яке
ірраціональне рівняння після скінченної кількості таких перетворень
можна звести до раціонального.

Рівняння, яке дістаємо в результаті, узагалі кажучи, не еквівалентне
заданому. Тому, знайшовши розв’язки цього рівняння, потрібно перевірити
їх підставленням у дане рівняння і відкинути як сторонні ті з них, які
не є розв’язками. Проте якщо обидві частини ірраціонального рівняння
підносились до непарного степеня, то перевіряти розв’язок не
обов’язково, бо в цьому разі прийдемо до рівняння, еквівалентного
даному.

Якщо рівняння містить радикали з невідомим у знаменнику, то його
потрібно звільнити від знаменника, виконавши відповідні перетворення.

Перш ніж приступити до розв’язування ірраціонального рівняння, доцільно
визначити область допустимих значень (ОДЗ) для невідомого. У деяких
випадках після цього відпадає потреба в розв’язанні.

Нехай, скажімо, маємо рівняння

.

. Отже, у множині дійсних чисел це рівняння не має розв’язків (не існує
дійсних значень х, для яких обидва підкореневі вирази невід’ємні).

1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ

Приклад. Розв’язати ірраціональне рівняння

.

рівняння і не є його коренями.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

і є стороннім. Поділивши обидві частини рівняння на х – 2, дістанемо:

. (

Зауважимо, що іноді перш ніж розв’язувати рівняння, доцільно з’ясувати,
чи можуть його ліва та права частини бути рівними між собою. Якщо ні, то
рівняння, очевидно, не має розв’язків.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

Тому дане рівняння не має розв’язків.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Знаходимо ОДЗ із нерівностей:

.

Рівняння розв’язків не має.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

.

не є коренем рівняння, оскільки при х = 0 обидва підкореневі вирази
від’ємні.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

, а далі після відповідних перетворень маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

.

Після зведення подібних членів дістаємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виконаємо перетворення:

.

Піднісши обидві частини останнього рівняння до квадрата, дістанемо:

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

,

а далі знову підносимо обидві частини перетвореного рівняння до
квадрата:

.

не задовольняють дане рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

.

Після перетворень дістаємо:

.

3. Метод заміни

Нерідко заміною підкореневого виразу можна звести ірраціональне рівняння
до раціонального.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

;

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виконаємо таке перетворення:

,

.

, дістанемо:

.

Повертаємось до початкових позначень:

,

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

. Тоді дане рівняння набере вигляду

.

розв’язків не має.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

— сторонній.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

.

4. Виділення повного квадрата

Розв’язуючи ірраціональні рівняння, часто використовують метод виділення
повного квадрата.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виділимо під радикалами повний квадрат

,

або

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

, дістанемо рівняння

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Перетворимо ліву частину рівняння:

,

.

Далі маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Під знаком кореня маємо повний квадрат:

,

.

Знаходимо ОДЗ:

— сторонній.

.

— сторонній.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Виділяємо повний квадрат:

.

дістаємо рівняння

.

, запишемо систему:

, дістанемо систему

Віднімаючи почленно друге рівняння від першого, маємо:

.

Розв’язуємо останнє рівняння:

.

.

5. Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій
частині

Приклад. Розв’язати рівняння

. (1)

Помножимо обидві частини рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій
частині:

.

Після перетворень дістаємо рівняння

,

або

. (2)

. З рівнянь (1), (2) випливає:

.

Підносимо обидві частини цього рівняння до квадрата:

.

не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ліву і праву частини рівняння помножимо і поділимо на відповідні
спряжені вирази:

.

Виконавши перетворення, дістенемо рівняння

,

.

Приклад. Розв’язати рівняння

з кубічними ірраціональностями.

, спряжений до суми першого та третього доданків.

Дістанемо різницю кубів:

.

Звідси після спрощень маємо:

.

, дістанемо:

.

6. Однорідні ірраціональні рівняння

Рівняння виду

називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Скориставшись позначенням

,

дістанемо рівняння

.

Переходячи до початкових позначень, маємо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Поділивши обидві частини рівняння на х, дістанемо:

.

:

X

&

r

c

O

-

j

?Т?Т??

&

&

&

&

F

&

&

F

&

F

&

j

„-`„-gd¶ko

&

&

j

dha$gd¶ko

&

F

&

&

&

F

&

F

j?

&

&

&

&

.

У початкових позначеннях маємо:

.

не задовольняє рівняння.

7. Розклад на множники

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Знайдемо спочатку ОДЗ з нерівностей

;

.

Винесемо спільний множник за дужки:

.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і виконаємо відповідні
перетворення:

;

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Винісши корінь четвертого степеня за дужки і виконавши відповідні
перетворення, дістанемо:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

за дужки і виконуємо перетворення:

.

Остаточно маємо:

.

8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

Розглянемо ірраціональне рівняння виду

. (1)

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

.

Спростимо здобуту рівність, скориставшись (1):

. (2)

Підносимо обидві частини рівняння (2) до куба:

.

Якщо рівняння (1) має корінь, то він є і коренем рівняння (2). Проте
рівняння (2) може мати корінь, який не є коренем рівняння (1).

.

Тоді рівняння (2) набере вигляду

.

. Якщо рівняння (2) має корені, які не задовольняють рівняння (1),
тобто сторонні щодо нього, то вони є коренями таких рівнянь:

,

або, у початкових позначеннях:

. (3)

Отже, якщо при рішенні розв’язуванні (2) з’явилися сторонні корені, то
вони задовольняють систему рівнянь (3).

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо обидві частини рівняння до куба і виконуємо відповідні
перетворення

.

.

Цей корінь не задовольняє дане рівняння, але є коренем системи рівнянь
виду (3):

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Підносимо рівняння до куба за формулою (2):

,

.

не задовольняє рівняння, але задовольняє систему рівнянь:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

За формулою (2) знаходимо:

,

.

— сторонній.

9. Заміна радикалів новими невідомими

Основним способом розв’язування складних ірраціональних рівнянь є заміна
кожного радикала новим невідомим. Це дає змогу звести ірраціональне
рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Позначивши

,

дістанемо систему алгебраїчних рівнянь

:

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Позначимо радикали:

Рівняння зводиться до системи рівнянь:

:

.

Дістанемо рівняння

,

яке розкладається на множники:

.

Розв’язуємо рівняння:

не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Уводимо позначення:

Рівняння зводиться до системи рівнянь

Розкладаємо перше рівняння на множники:

.

Розв’язуємо рівняння:

;

.

10. Уведення параметра

Ірраціональні рівняння так само, як алгебраїчні, можна розв’язувати
ввведенням допоміжного параметра [2], що значно спрощує розв’язування.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Запишемо рівняння у вигляді

.

зводить рівняння до вигляду

.

.

Дістанемо ірраціональне рівняння з параметром:

.

:

.

Знаходимо розв’язки:

.

розв’язуємо такі рівняння:

;

.

:

.

— сторонні.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

. Дістаємо рівняння

.

Звільняючись від ірраціональності, маємо:

,

.

, дістаємо:

;

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Знаходимо ОДЗ:

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

;

;

.

у вихідне рівняння

;

.

.

11. Рівняння з модулями

Рівняння з модулями близькі до ірраціональних рівнянь, оскільки

. (1)

Звичайно використовують означення модуля х:

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Знайдемо точки, в яких модулі перетворюються на нуль:

.

Ці точки розбивають числову вісь на частини, в кожній з яких вирази під
знаком модуля мають один і той самий знак.

;

— маємо тотожності;

.

.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

. Розглянемо всі можливі випадки:

;

;

.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Розглянемо всі можливі випадки.

:

. Знайшли розв’язок системи.

:

. Розв’язок не задовольняє умову.

. Розв’язок не задовольняє умову.

. Знайшли розв’язок системи. (

З формули (1) випливають правила внесення (винесення) множників під знак
радикала:

. (2)

залишається поза радикалом.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

.

.

Розглянемо можливі випадки.

. Вносимо додатний множник під знак радикала:

,

.

.

. Вносимо від’ємний множник під знак радикала за формулою (2):

.

.

12. Системи ірраціональних рівнянь

Системи двох ірраціональних рівнянь дуже різноманітні, і тому важко
знайти загальні способи їх розв’язування. Зазвичай намагаються виключити
одне невідоме й дістати одне рівняння з одним невідомим.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

.

Із системи рівнянь знаходимо

;

.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

, дістанемо систему рівнянь:

Розв’язуємо системи рівнянь:

;

.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Підносимо обидві частини кожного рівняння до квадрата:

.

Розв’язуємо рівняння:

,

.

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *