Границя та неперервність функцій багатьох змінних (реферат)

Реферат

З математики

На тему: ”Границя та неперервність функцій багатьох змінних”

Границя функції двох змінних

, таке що в разі виконання нерівності

,

.

Позначають:

,

або

.

, то така границя тільки одна.

.

.

існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

,то виконуються нерівності:

.

.

.

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також
узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій,
тобто

дістанемо:

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та
функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова
різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є
істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю
суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції
однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

.Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох
односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по
складніших траєкторіях.

по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі
збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

не існує.

зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої,
наприклад:

і т. д.

не існує.

! так званих повторних границь.

:

маємо

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Неперервність функцій двох змінних

, якщо

неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в
кожній точці цієї області.

, якщо

, якщо:

, проте:

не існує;

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних

—незалежні змінні.

Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна
записати у вигляді

.

, що з нерівності

(5)

випливає нерівність

, що з нерівностей

випливають нерівності

(6),(7)

. Тоді з нерівності

(8)

дістанемо нерівності (6) і (7).

З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:

.

Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо

,

.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *