Гіпербола (реферат)

Реферат

на тему:

“Гіпербола”

Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з
який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною
величиною, називається гіперболою.

— канонічне рівняння гіперболи.

Досліджуємо форму гіперболи.

1. Знайдемо точки перетинання з осями.

, A(a;0) , B(-a;0).

.

Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.

2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і
початку координат.

.

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Побудуємо дану криву.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а
параметр b називається мнимою піввіссю.

називаються асимптотами гіперболи.

При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.

Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі
називається ексцентриситетом.

.

гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.

Задачі з гіперболою

Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.

проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели
систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.

, тобто лежачу на гіперболі.

3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з’єднуємо відрізками
прямих точку М с фокусами.

(фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней
від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на
гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:

Тоді по формулі (1) маємо:

Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:

.

Цим рівнянням зв’язані координати поточної точки М(х;у) з даними
задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.

5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і
позначивши через

(11)

Через громіздкість викладень приводити їхній не будемо. Одержимо:

Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. Для неї як і для еліпса існує
поняття ексцентриситету, що позначається буквою (епсилон) і характеризує
ступінь сплющеності гіперболи. Ексцентриситет обчислюється по формулі:

Побудова гіперболи.

Будуємо прямокутну систему координат. На осі ОХ від початку координат
відкладаємо вліво і вправо відрізки а (довільної довжини). А на осі OY —
відрізки b. Через точки на осях проводимо прямі, рівнобіжні осям
координат. Одержали прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Проведемо
діагоналі прямокутника. Вони називаються асимптотами гіперболи. Галузі
гіперболи як завгодно близько наближаються до асимптотам, але не
перетинають їх. Вершини гіперболи знаходяться на відстані а від початку
координат вліво і вправо.

будуть розташовуватися усередині вісей гіперболи.

і визначити її фокуси й ексцентриситет.

Рішення: Щоб побудувати гіперболу, треба знати параметри а і b, а для
цього рівняння гіперболи треба привести до канонічного виду, тобто

.

4,2. Проведемо діагоналі цього прямокутника, це асимптоти гіперболи,
креслимо галузі гіперболи.

. Для перебування зі скористаємося співвідношенням (11).

Знайдемо ексцентриситет гіперболи:

. Ексцентриситет гіперболи завжди більше 1.

Використана література:

Математика. Підручник. – К., 2000.

Математичний словник-довідник. – К., 2001.

Y

F2(c;0)

F1(-c;0)

b

-b

-a

a

0

X

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *