Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність,
похідні диференціали.
Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn
позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного
арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки
М(х1,…,хn). Відстань між точками М(х1,…,хn) і М/(х/1,…,х/n) визначається
за формулою
– множиною значень функції f.
D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з
фіксованою системою координат Оxyz. Графіком цієї функції називається
множина точок
яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.
Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль.
Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.
, розглянемо границю
.
Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами
диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як
сталі.
Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x1,…,xn) називаються
частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні
другого порядку позначаються так:
Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого,
ніж другий.
Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не
залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому
змішані частинні похідні неперервні.
, називається різниця
Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в
околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді
.
називається вираз
.
Для диференціала du правильна формула
Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна
наближена формула:
: d2u = d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d3u =
d(d2u). Взагалі, dku = d(dk-1 u).
, де х1…хn – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули
яка формально розкривається за біномним законом.
, маємо:
Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції:
Знайти grad u (M0).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
