Реферат на тему:
Елементи аналітичної геометрії в просторі
Рівняння площини
, яка належить площині (рис. 2.20).
Рис. 2.20
взаємно перпендикулярні. Умова перпендикулярності векторів
. (2.25)
дорівнюють відповідно х – х0,
у – у0, z – z0. Записавши вираз (2.25) у розгорнутому вигляді, дістанемо
рівняння площини, що проходить через задану точку:
(2.26)
, дістанемо загальне рівняння площини:
(2.27)
Розглянемо тепер, як розміщена площина ( відносно системи координат Охуz
залежно від значень коефіцієнтів у рівнянні (2.27).
. Точка О (0, 0, 0) задовольняє це рівняння, тобто належить площині. Це
означає, що площина проходить через початок системи координат.
містить вісь Оz, тому що паралельна їй і проходить через початок
системи координат. Аналогічно можна розглянути випадки А = 0, В ( 0, С (
0 і А ( 0, В = 0, С ( 0.
3. Розглянемо тепер випадок, коли два коефіцієнти при змінних дорівнюють
нулю. Нехай А = В = 0, С ( 0, D ( 0. Тоді площина Сz + D = 0 згідно з
попереднім паралельна відразу осям Ох і Оу, а це означає, що вона
паралельна площині Оху і, як наслідок, перпендикулярна до осі Оz. Якщо
додатково і D = 0, то z = 0 — рівняння координатної площини Оху.
Аналогічно можна розглянути випадки А ( 0, В = С = 0 і В ( 0, А = С = 0.
Кут між площинами,
відстань від точки до площини
Розглянемо дві площини ( і (, які задано відповідно рівняннями
,
.
Рис. 2.21
, перпендикулярними до цих площин (рис. 2.21), тому
. (2.28)
і, розкривши скалярний добуток у формулі (2.28), дістанемо умову
перпендикулярності двох площин:
. (2.29)
— колінеарні, а отже, відповідні координати пропорційні, і ми маємо
умову паралельності двох площин
. (2.30)
. Вона набирає вигляду
.
Рівняння прямої у просторі
Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у
прямокутній системі координат:
(2.31)
— не колінеарні. Система (2.31) називається загальним рівнянням
прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.
колінеарні:
. (2.32)
Рівняння (2.32) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.
Параметричне рівняння.
У рівнянні прямої (2.32) позначимо через t кожне з рівних відношень.
Тоді
.
Звідси дістаємо:
Параметричне рівняння прямої в просторі.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
у рівнянні (2.32), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі
.
— неперпендикулярний до другої.
Рис. 2.22
. Використовуючи запис векторного добутку через визначник, дістаємо:
(2.33)
Для знаходження кута між двома прямими
колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:
.
З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих
,
:
.
.
Рис. 2.23
(рис. 2.23). Із підрозд. 2.1.3 відомо, що площа паралело-
грама дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано
цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і
відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:
(2.34)
Взаємне розміщення прямої і площини у просторі
у просторі. Якщо
,
то пряма перпендикулярна до площини, а коли
,
пряма паралельна площині.
. Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до
канонічного рівняння прямої
і підставимо значення х, у, z у рівняння площини:
Звідси, використовуючи умову непаралельності, знайдемо значення
параметра
.
Координати точки перетину:
.
Знайдемо кут між площиною і прямою.
Рис. 2.24
?????
F
H
N
P
R
V
X
Z
`
b
d
h
j
p
r
t
H*
+NX
gdy+I
gdy+I
NH
$
dha$gdy+I
gdy+I
gdy+I
$
a$gdy+I
gdy+I
NH
hy+I
, разом з ( у сумі дорівнює 90(. Тобто ( + ( = 90(.
Знайдемо кут ( як кут між двома векторами.
.
. Отже,
.
Поверхні другого порядку
Розглянемо геометричні образи алгебраїчних рівнянь другого порядку в
просторовій декартовій системі координат.
Еліпсоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат
визначається рівнянням
(2.35)
називається еліпсоїдом.
Рис. 2.25
— будь-яке число, а лінія, яка утворюється в перерізі, визначається
системою рівнянь:
, то досліджувану систему рівняння можна подати у вигляді
маємо найбільший еліпс.
Таким чином, проведений аналіз дозволяє зобразити геометричний образ
еліпсоїда як замкненої овальної поверхні (рис. 2.25).
Однопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній
системі координат визначається рівнянням:
(2.36)
називається однопорожнинним гіперболоїдом.
. Дістанемо дві системи
Рис. 2.26
з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.
дістанемо лінії, що визначають еліпси
, якщо h необмежено зростає, то півосі еліпса зростають до
нескінченності. Однопорожнинний гіперболоїд зображено на рис. 2.26.
Двопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній
системі координат визначається рівнянням
, (2.37)
називається двопорожнинним гіперболоїдом.
При перерізі його координатними площинами Оxz i Oyz дістанемо рівняння:
з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.
лінією перетину буде еліпс. Вигляд поверхні зображено на рис. 2.27.
Рис. 2.28
Еліптичний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі
координат визначається рівнянням
(2.38)
називається еліптичним параболоїдом.
дістанемо лінії, що записуються рівняннями
,
з яких випливає, що ці лінії — параболи.
маємо:
Еліптичний параболоїд зображено на рис. 2.28.
Гіперболічний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі
координат визначається рівнянням
(2.39)
називається гіперболічним параболоїдом.
. Нехай маємо
. З аналізу ліній перетину гіперболічного параболоїда відповідними
площинами випливає, що він має вигляд, зображений на рис. 2.29.
Рис. 2.30
називається конусом другого порядку.
одержуємо пари прямих, які є твірними конічної поверхні.
, то
тобто еліпси.
Аналіз перетинів дає змогу побудувати поверхню, зображену на рис. 2.30.
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter