Елементи аналітичної геометрії в просторі (реферат)

Реферат на тему:

Елементи аналітичної геометрії в просторі

Рівняння площини

, яка належить площині (рис. 2.20).

Рис. 2.20

взаємно перпендикулярні. Умова перпендикулярності векторів

. (2.25)

дорівнюють відповідно х – х0,

у – у0, z – z0. Записавши вираз (2.25) у розгорнутому вигляді, дістанемо
рівняння площини, що проходить через задану точку:

(2.26)

, дістанемо загальне рівняння площини:

(2.27)

Розглянемо тепер, як розміщена площина ( відносно системи координат Охуz
залежно від значень коефіцієнтів у рівнянні (2.27).

. Точка О (0, 0, 0) задовольняє це рівняння, тобто належить площині. Це
означає, що площина проходить через початок системи координат.

містить вісь Оz, тому що паралельна їй і проходить через початок
системи координат. Аналогічно можна розглянути випадки А = 0, В ( 0, С (
0 і А ( 0, В = 0, С ( 0.

3. Розглянемо тепер випадок, коли два коефіцієнти при змінних дорівнюють
нулю. Нехай А = В = 0, С ( 0, D ( 0. Тоді площина Сz + D = 0 згідно з
попереднім паралельна відразу осям Ох і Оу, а це означає, що вона
паралельна площині Оху і, як наслідок, перпендикулярна до осі Оz. Якщо
додатково і D = 0, то z = 0 — рівняння координатної площини Оху.
Аналогічно можна розглянути випадки А ( 0, В = С = 0 і В ( 0, А = С = 0.

Кут між площинами,

відстань від точки до площини

Розглянемо дві площини ( і (, які задано відповідно рівняннями

,

.

Рис. 2.21

, перпендикулярними до цих площин (рис. 2.21), тому

. (2.28)

і, розкривши скалярний добуток у формулі (2.28), дістанемо умову
перпендикулярності двох площин:

. (2.29)

— колінеарні, а отже, відповідні координати пропорційні, і ми маємо
умову паралельності двох площин

. (2.30)

. Вона набирає вигляду

.

Рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у
прямокутній системі координат:

(2.31)

— не колінеарні. Система (2.31) називається загальним рівнянням
прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.

колінеарні:

. (2.32)

Рівняння (2.32) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.

Параметричне рівняння.

У рівнянні прямої (2.32) позначимо через t кожне з рівних відношень.
Тоді

.

Звідси дістаємо:

Параметричне рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

у рівнянні (2.32), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі

.

— неперпендикулярний до другої.

Рис. 2.22

. Використовуючи запис векторного добутку через визначник, дістаємо:

(2.33)

Для знаходження кута між двома прямими

колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:

.

З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих

,

:

.

.

Рис. 2.23

(рис. 2.23). Із підрозд. 2.1.3 відомо, що площа паралело-

грама дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано
цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і
відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:

(2.34)

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

у просторі. Якщо

,

то пряма перпендикулярна до площини, а коли

,

пряма паралельна площині.

. Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до
канонічного рівняння прямої

і підставимо значення х, у, z у рівняння площини:

Звідси, використовуючи умову непаралельності, знайдемо значення
параметра

.

Координати точки перетину:

.

Знайдемо кут між площиною і прямою.

Рис. 2.24

?????

F

H

N

P

R

V

X

Z

`

b

d

h

j

p

r

t

H*

+N X

gdy+I

gdy+I

NH

$

dha$gdy+I

gdy+I

gdy+I

$

a$gdy+I

gdy+I

NH

hy+I

, разом з ( у сумі дорівнює 90(. Тобто ( + ( = 90(.

Знайдемо кут ( як кут між двома векторами.

.

. Отже,

.

Поверхні другого порядку

Розглянемо геометричні образи алгебраїчних рівнянь другого порядку в
просторовій декартовій системі координат.

Еліпсоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі координат
визначається рівнянням

(2.35)

називається еліпсоїдом.

Рис. 2.25

— будь-яке число, а лінія, яка утворюється в перерізі, визначається
системою рівнянь:

, то досліджувану систему рівняння можна подати у вигляді

маємо найбільший еліпс.

Таким чином, проведений аналіз дозволяє зобразити геометричний образ
еліпсоїда як замкненої овальної поверхні (рис. 2.25).

Однопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній
системі координат визначається рівнянням:

(2.36)

називається однопорожнинним гіперболоїдом.

. Дістанемо дві системи

Рис. 2.26

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

дістанемо лінії, що визначають еліпси

, якщо h необмежено зростає, то півосі еліпса зростають до
нескінченності. Однопорожнинний гіперболоїд зображено на рис. 2.26.

Двопорожнинний гіперболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній
системі координат визначається рівнянням

, (2.37)

називається двопорожнинним гіперболоїдом.

При перерізі його координатними площинами Оxz i Oyz дістанемо рівняння:

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

лінією перетину буде еліпс. Вигляд поверхні зображено на рис. 2.27.

Рис. 2.28

Еліптичний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі
координат визначається рівнянням

(2.38)

називається еліптичним параболоїдом.

дістанемо лінії, що записуються рівняннями

,

з яких випливає, що ці лінії — параболи.

маємо:

Еліптичний параболоїд зображено на рис. 2.28.

Гіперболічний параболоїд. Означення. Поверхня, яка в прямокутній системі
координат визначається рівнянням

(2.39)

називається гіперболічним параболоїдом.

. Нехай маємо

. З аналізу ліній перетину гіперболічного параболоїда відповідними
площинами випливає, що він має вигляд, зображений на рис. 2.29.

Рис. 2.30

називається конусом другого порядку.

одержуємо пари прямих, які є твірними конічної поверхні.

, то

тобто еліпси.

Аналіз перетинів дає змогу побудувати поверхню, зображену на рис. 2.30.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *