Реферат на тему:
Елементи аналітичної геометрії
Аналітична геометрія — розділ вищої математики, в якому геометричні
образи (точки, лінії, поверхні) вивчаються за допомогою алгебраїчних
методів.
Засновником аналітичної геометрії є французький математик і філософ Рене
Декарт (1596—1650). Він розробив і вперше застосував метод координат,
який дав змогу досліджувати геометричні залежності алгебраїчними
методами. Із будь-якою лінією (чи поверхнею) співставляється її
рівняння, а далі властивості цієї лінії (поверхні) вивчаються за
допомогою аналітичного дослідження відповідного рівняння.
1. Метод координат
В основу методу координат покладено побудову системи координат. Таких
систем існує багато. Ми ознайомимося з двома: прямокутною (чи
декартовою) і полярною системами координат.
Відрізок, обмежений точками А і В, називається напрямленим, якщо
вказано, яка з точок А і В вважається початком, а яка — кінцем відрізка.
і вважатимемо, що він напрямлений від початку до кінця.
, якщо ці напрями протилежні.
:
(1)
справджується рівність:
(2)
.
Згідно з формулою (2) дістаємо:
.
Координати на прямій.
Числова пряма
Візьмемо довільну пряму і виберемо на ній напрям (тоді вона стане
віссю), деяку точку О (початок координат) і одиницю масштабу для
вимірювання довжин відрізків (рис. 1).
Пряма з вибраним напрямом, початком координат і одиницею масштабу
називається координатною прямою.
Рис. 1
: х = ОМ. Це означатиме, що точка М лежить на координатній прямій на
відстані х одиниць масштабу від початку координат у додатному напрямі.
Число х називається координатою точки М. З означення величини відрізка
випливає, що коли напрям відрізка ОМ збігається з напрямом осі, то М
міститься праворуч від О і координата х додатна; якщо напрям відрізка ОМ
не збігається з напрямом осі, то М міститься ліворуч від О і координата
х від’ємна; нарешті, якщо точка М збігається з точкою О, то координата х
дорівнює нулю.
Той факт, що точка М має координату х, символічно записують так: М(х).
Отже, ми встановили відповідність між числами і точками координатної
прямої: кожній точці відповідає певне число — її координата, і кожному
числу — певна точка на координатній прямій; двом різним точкам
відповідають два різних числа. Така відповідність у математиці
називається взаємно однозначною.
Отже, числа можна зображувати точками координатної прямої, тому множину
всіх чисел називають числовою прямою (або числовою віссю), а будь-яке
число — точкою цієї прямої.
Відстань між двома точками
на прямій
d f ?
‚
?
jZ
j
??
?
&
F
.
, дістаємо:
.
Прямокутна (декартова)
система координат на площині
Дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу , що мають спільний початок О і
однакову одиницю масштабу (рис. 2), утворюють прямокутну, або декартову,
систему координат на площині.
Рис. 2
Вісь Ох називається віссю абсцис, а вісь Оу — віссю ординат. Точка О
перетину осей називається початком координат. Площина, в якій містяться
осі Ох і Оу, називається координатною площиною і позначається Оху.
Нехай М — довільна точка площини. Опустимо з неї перпендикуляри МА і MB
відповідно на осі Ох і Оу. Точки А і В перетину цих перпендикулярів з
осями називаються проекціями точки М на осі координат.
: х = ОА, у = ОВ. Число х називається абсцисою точки М, число у — її
ординатою.
Той факт, що точка М має координати х і у, символічно позначають так:
М(х; у). При цьому першою в дужках вказують абсцису, а другою —
ординату. Початок координат має координати (0; 0).
Таким чином, коли вибрано систему координат, кожній точці М площини
відповідає пара чисел (х; у) — її прямокутних координат і, навпаки,
кожній парі чисел (х; у) відповідає, причому лише одна, точка М на
площині Оху, така що її абсциса дорівнює х, а ордината дорівнює у.
Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно
однозначну відповідність між множиною всіх точок площини і множиною пар
чисел, що дає змогу при розв’язуванні геометричних задач застосовувати
алгебраїчні методи.
Осі координат розбивають площину на чотири частини; їх називають
чвертями, квадрантами або координатними кутами і нумерують римськими
цифрами I, II, III, IV так, як показано на рис. 3 (на ньому подано також
нерівності, що визначають знаки координат точок залежно від їхнього
розміщення).
Рис. 9
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
О
М
В
М
у
х
А
О
у
х
І
ІІ
О
IV
ІІІ
у
х
x 0
x 0, y 0, y > 0
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
