Диференціальні рівняння. Поняття про рівняння ліній (реферат)

РЕФЕРАТ

на тему:

Диференціальні рівняння. Поняття про рівняння ліній

ПЛАН

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними

змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння.

Список використаної літератури

1. Поняття про диференціальні рівняння

Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються
диференціальними рівняннями.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у
яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних
порядків:

F(x,y,y(,y(,…)=0

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.

Приклади.

1. Диференціальне рівняння другого порядку y(+2y(-3y=x2+1 .

2. Диференціальне рівняння третього порядку y((=cos(x).

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в
разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.

Приклади.

1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y(=3×2 є
функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…

Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C —
довільна стала.

2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y(=sin(x) є сім’я
функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 — довільні сталі.
Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10,
y= — sin(x)+2x+1 тощо.

Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з
частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних),
наприклад:

u(x(x,y)+u(y(x,y)=2u(x,y)+x+y

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку
називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна
y((x):

F(x,y,y()=0
(1)

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

f1(x)((2(y)dx+f2(x)((1(y)dy=0
(2)

називається рівнянням з розділеними змінними.

Приклади.

.

, розділивши тим самим змінні:

Почленно інтегруємо:

,

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2)
та

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

;

;

;

;

.

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального
рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв’язати диференціальне рівняння y(=7x+y .

Розділяємо змінні:

;

.

Інтегруємо праву та ліву частини:

.

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних
значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні
значення), матимемо:

-7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція
(що залажить від сталої C)

7y+7x=C .

Розв’язати диференціальне рівняння

;

;

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у
вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала
arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

.

(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).

2. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має
вигляд

y(=a(x)(y=0
(3)

Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:

;

;

;

;

— загальний розв’язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

y(+a(x)(y=b(x)
(4)

Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді

.

Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння

.

Розв’язок однорідного рівняння y(+2xy=0 має вигляд

.

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

,

де C(x) функція від x .

,

і підставимо відшукані значення y та y( в початкове рівняння:

;

С((x)=2x ;

dC(x)=2xdx ;

C(x)=x2+C .

Отримуємо загальний розв’язок

.

Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy(-y=3×2.

є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від
сталої C)

.

.

Підставляючи y та y( в рівняння, маємо

.

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду

y( + py( + qy=0 ,
(5)

де p та q — сталі величини.

З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння

(2+p(+q=0

Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні
дійсні корені (1 та (2 , загальний розв’язок диференціального
рівняння такий:

,

де C1 та C2 — довільні сталі.

У випадку кратних дійсних коренів (1=(2=( характеристичного рівняння
загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(-15y=0.

Будуємо характеристичне рівняння (2+2(-15=0, звідки (1=3; (2=-5.

Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(+y=0.

Будуємо характеристичне рівняння (2+2(+1=0, звідки (1=(2=-1.

.

Список використаної літератури

Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.

Кремер Н. Ш. Высшая математика. — М.: ЮНИТИ, 1997.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М. : Наука,
1985, — т.1. – 432 с.

Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 1999. – ч.1. – 437 с.

Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 2000. – ч.2. – 315 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *