РЕФЕРАТ
на тему:
Диференціальні рівняння. Поняття про рівняння ліній
ПЛАН
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння.
Список використаної літератури
1. Поняття про диференціальні рівняння
Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються
диференціальними рівняннями.
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у
яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних
порядків:
F(x,y,y(,y(,…)=0
Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.
Приклади.
1. Диференціальне рівняння другого порядку y(+2y(-3y=x2+1 .
2. Диференціальне рівняння третього порядку y((=cos(x).
Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в
разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.
Приклади.
1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y(=3×2 є
функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…
Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C –
довільна стала.
2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y(=sin(x) є сім’я
функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 – довільні сталі.
Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10,
y= – sin(x)+2x+1 тощо.
Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з
частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних),
наприклад:
u(x(x,y)+u(y(x,y)=2u(x,y)+x+y
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку
називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна
y((x):
F(x,y,y()=0
(1)
Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
f1(x)((2(y)dx+f2(x)((1(y)dy=0
(2)
називається рівнянням з розділеними змінними.
Приклади.
.
, розділивши тим самим змінні:
Почленно інтегруємо:
,
застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2)
та
1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):
;
;
;
;
.
Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального
рівняння, який є неявною функцією.
2. Розв’язати диференціальне рівняння y(=7x+y .
Розділяємо змінні:
;
.
Інтегруємо праву та ліву частини:
.
Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних
значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні
значення), матимемо:
-7y=7x+C .
Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція
(що залажить від сталої C)
7y+7x=C .
Розв’язати диференціальне рівняння
;
;
arctgy=arctgx+C .
Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у
вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала
arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:
arctgy=arctgx+arctgC.
Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:
.
(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).
2. Лінійні диференціальні рівняння
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має
вигляд
y(=a(x)(y=0
(3)
Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:
;
;
;
;
– загальний розв’язок.
Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
y(+a(x)(y=b(x)
(4)
Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді
.
Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння
.
Розв’язок однорідного рівняння y(+2xy=0 має вигляд
.
Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
,
де C(x) функція від x .
,
і підставимо відшукані значення y та y( в початкове рівняння:
;
С((x)=2x ;
dC(x)=2xdx ;
C(x)=x2+C .
Отримуємо загальний розв’язок
.
Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy(-y=3×2.
є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від
сталої C)
.
.
Підставляючи y та y( в рівняння, маємо
.
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду
y( + py( + qy=0 ,
(5)
де p та q – сталі величини.
З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння
(2+p(+q=0
Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні
дійсні корені (1 та (2 , загальний розв’язок диференціального
рівняння такий:
,
де C1 та C2 – довільні сталі.
У випадку кратних дійсних коренів (1=(2=( характеристичного рівняння
загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(-15y=0.
Будуємо характеристичне рівняння (2+2(-15=0, звідки (1=3; (2=-5.
Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(+y=0.
Будуємо характеристичне рівняння (2+2(+1=0, звідки (1=(2=-1.
.
Список використаної літератури
Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.
Кремер Н. Ш. Высшая математика. – М.: ЮНИТИ, 1997.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М. : Наука,
1985, – т.1. – 432 с.
Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 1999. – ч.1. – 437 с.
Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 2000. – ч.2. – 315 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
