Диференціал (реферат)

ДИФЕРЕНЦІАЛ

Поняття диференціала тісно пов’язане з поняттям похідної, і е одним з
найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту
функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал
широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ.
Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється
майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес,
можна замінити диференціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку
заміну називають лінеаризацією процесу.

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різниця)
ввів у математику Лейбніц.

1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

[а; b], тобто в цій точці має похідну

Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)

0,

звідки

(1)

х , тому що (гл. 4, п. 4.3):

х , тому що

х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі
(1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту
аргументу.

х, частина приросту функції f(х) в цій точці:

х. (2)

х. Тому формулу (2) можна записати так:

dy = f'(x)dx. (3)

Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала
функції до диференціала незалежної змінної.

. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо

хf'(x) = f'(x)dx = dy.

х.

З’ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка
рухається за відомим законом

є майже рівномірним.

Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикладах, які
розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває
конкретного фізичного змісту.

2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал
незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із
відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v —
диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила
знаходження диференціалів:

;

Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диференціала маємо

d (uv) = (uv)’xdx = (u’v + uv’) dx — = vu’dx + uv’dx = vdu + udv.

(t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y’t = y’xx’t, а
отже, і диференціал

dy = y’tdt = y’xx’xdt = y’xdx. (5)

Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції

у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від
того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої
змінної.

Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмінністю) форми
диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х — незалежна
змінна, і (5), де х — залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст
їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)

x.

3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

y і dy, дістанемо

(6)

y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):

Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя
з’ясована в п. 5.2.

Іноді користуються наближеною рівністю

f(х). (7)

Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна похибка
формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині диференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Приклади

x = 0,1.

О а) Користуючись формулою (4), знаходимо

dy = (ln sin 2x)’ dx = 2 ctg 2xdx;

y і диференціал dy функції у = х3 + 2×2.

О Знаходимо приріст і диференціал функції:

x)2 — (х3 + 2×2) =

x2;

x = (3×2 + 4x) dx.

x і

x, тому що

.

3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х)
заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трактувань цієї задачі —
визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час
руху. З практичної точки зору природною є обернена задача, а саме,
визначення пройденого шляху за відомою швидкістю руху як функцією часу.
Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою
її похідною f (х). Розв’язується ця задача за допомогою невизначеного
інтеграла.

1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

.

;

R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо

R.

Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первісної
розв’язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує
первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі
первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає
така теорема.

, то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має
вигляд F (х) + С.

. Маємо

а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже,
Ф(х)=Р(х)+С. •

З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) — одна з
первісних функції f(х), а С — довільна стала, визначає всю сукупність
первісних заданої функції.

означає множину всіх первісних функції f (х).

, який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx — підінтегральним
виразом, f(х) — підінтегральною функцією, х — змінною інтегрування.
Отже, за означенням,

. (1)

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають
інтегруванням цієї функції.

.

З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтеграла.

1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній
функції:

(х) dx)’ = (F (x) + С)’ = F’ (x) = f (х).

Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаємно
знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та інтегрування —
взаємно обернені. Внаслідок цього правильність виконання операції
інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,

2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі
цієї функції і довільної сталої:

(х) dx = F(х) + С.

3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному
виразу:

(х) dx)’ dx = f(х) dx.

4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(x)dx.

5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює
алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості
1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінченного числа
доданків.

6°. Якщо

(х) — довільна функція, що має неперервну похідну, то

(u)du=F(u)+C. (2)

О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і
властивості 2° маємо

dF (u)=F'(u) du=f(u) du;

.

— довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:

Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений
інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай

( — 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що (F'+ (0) — права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція первісної не має. Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла. функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *