Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязані відносно похідної (реферат)

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку,

не розв’язані відносно похідної.

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і
єдності розв’язку.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно
похідної має вигляд

(5.1)

-ої степені.

, визначена і

(5.2)

називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки
перетворює Д.Р. (5.1) в

тотожність

і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).

, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо

.

, скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не
єдиний розв’язок.

Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

задовільняє наступним умовам:

;

;

;

? Без доведення ?

, ми знайдемо дійсні розв’язки

(5.3)

.

має загальний інтеграл

(5.4)

.

Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують

(5.5)

. Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).

в вигляді

(5.6)

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).

задано в вигляді

(5.7)

то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)

-комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм
розв’язки треба виключати.

, заданих в параметричному вигляді

(5.8)

будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.

Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його
точці задача Коші має єдиний розв’язок.

називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується
єдинність розв’язку задачі Коші.

, Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні
особливими.

буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).

Приклад 5.1.

(5.9)

— загальний інтеграл.

(мал. 5.1).

(5.11)

.

Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.

.

, тоді

(5.12).

буде необмеженою при умові

(5.13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися
з системи

(5.14)

Розв’язок системи (5.14)

=0 (5.15)

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці
порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.

Приклад 5.2.

(5.16)

(5.17)

.

5.3. Загальний метод введення параметра.

Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(5.18)

.

ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв’язане
Відносно похідної.

Тому

– за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

(5.19)

Якщо

(5.20)

загальний розв’язок Д.Р. (5.19), то загальний розв’язок Д.Р. (5.1) можна
отримати в параметричній формі.

(5.21)

Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв’язані віднлсносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

(5.22)

, тоді

(5.23)

Маємо

Звідки

(5.24)

– загальний розв’язок Д.Р. (5.22).

.

Б. Випадок, коли Д.Р. розв’язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

(5.25)

. Тоді

, отримаємо

(5.26)

– загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то

(5.27)

загальний інтеграл Д.Р. (5.25).

-може бути особливим розв’язком Д.Р. (5.25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна
проінтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

(5.28)

. Тоді

(5.29)

З (5.29) маємо

(5.30)

(5.31)

– розв’язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв’язок рівняння Лагранжа
запишемо в параметричній формі

(5.32)

Особливі розв’язки можуть бути там, де

(5.33)

тобто

(5.34),

– корені рівняння (5.33).Розв’язок (5.34) може бути частинним або
особливим.

Г. Рівняння Клеро.

.

(5.35)

, тоді

(5.36)

, отримаємо

(5.37)

Рівняння (5.37) розпадається на два

(5.38)

, підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок

(5.39)

, разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі

(5.40)

Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______.
Дійсно

звідки

(5.41)

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).

Приклад 5.3.

.

Отримали лінійне рівняння

Його розв’язок

(5.42)

(5.43)

:

(5.44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.

Приклад 5.4.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –

Запишемо дискримінантну криву

.

4. Неповні рівняння.

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

(5.45)

Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних
розв’язків.

(5.46)

.

Інтегруємо (5.46)

(5.47)

то

(5.48)

Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді
(5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.

Приклад 5.5.

.

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

(5.49)

Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної

(5.50)

то

(5.51)

являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).

не можна, а допускається параметризація

(5.52)

тобто

(5.53)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі

(5.54)

Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд

(5.55)

. Загальний розв’язок запишеться в формі

(5.56)

Приклад 5.6.

.

.

Маємо

Загальний розв’язок в параметричній формі.

в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.

Це рівняння вигляду

(5.57)

, тобто

(5.58)

то

(5.59)

).

, але воно допускає параметризацію

(5.60)

то

(5.61)

Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.

Приклад 5.7.

.

звідки

зашальний розв’язок нашого рівняння.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

виміру, тобто

(5.62)

Зробимо заміну

(5.63)

– нова шукана функція. Маємо

. З іншої сторони

(5.64)

Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)

отримане рівняння

(5.65)

.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *