Реферат на тему:
Частинні похідні. Повний диференціал
Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області
визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а
аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають
повним приростом функції f(x,y) .
Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо
.
Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на
випадок функції від n (n>2) змінних.
Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y)
називаються частинними приростами функції f(x,y) .
Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за
аргументом x називається границя
(6.1)
Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y
визначаєють аналогічно.
Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення
:
;
.
задає напрям дотичної до кривої y = f(x).
Приклади
2. Нехай Q=K0.6(L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні
(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і
праці).
3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6(L0.4 .
(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу,
так і затрат праці).
4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :
Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z(x , z(y , z((xy і z((yx
неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z((xy = z((yx .
Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму
її частинних диференціалів :
(6.2)
Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz
є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до
того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної
до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а – б).
z y
y=f(x)
z=z(x,y)
dy
dz
dy
(x=dx
dx y
x
x
a
б
Рис. 6.9.
По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від
багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:
,
– похибки аргументів.
По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від
функцій, заданих неявно.
Приклад.
.
Маємо
Отже,
. Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо
.
Приклад.
Маємо
.
За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми
(частки, квоти, rate) заміни.
Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10×1+15×2, де x1 та x2 -затрати
ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму
технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою
технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють
додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на
одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в
неперервному випадку є похідною від змінної x1 за змінною x2 за умови
сталого випуску Q:
.
Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x2 на одиницю та одночасного
збільшення ресурсу x1 на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться
(рис. 6.10).
x2
1
x1
1,5
Рис. 6.10.
Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K0,6(L0,4 (функція
Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці
капіталом у цьому випадку с
.
Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of
technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від
співвідношення K/L.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter