Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (реферат)

Реферат на тему:

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

На одному й тому самому просторі елементарних подій ( можна визначити
не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад,
коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими
параметрами. Так, у разі виготовлення валів такі їх параметри, як
діаметр, довжина, овальність є випадковими величинами, значення яких
наперед не можна передбачити. Або, скажімо, структура витрат випадково
взятої окремої сім’ї на їжу, одяг, взуття, транспорт, задоволення
духовних потреб також є випадковими величинами, визначеними на одному й
тому самому просторі елементарних подій.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні
означення, які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

(Означення. Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n
випадкових величин (X1, X2, …, Xn) з певною ймовірністю являє собою
n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових
величин, або n-вимірним випадковим вектором.

1. Система двох дискретних випадкових

величин (X, Y) та їх числові характеристики

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік
можливих значень Y = yi , X = xj та відповідних їм імовірностей спільної
появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X = xj

т використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

(108)

2. Основні числові характеристики

для випадкових величин Х, Y,

що утворюють систему (Х, Y)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

3. Кореляційний момент.

Коефіцієнт кореляції

та його властивості

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться
з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З
відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

(115)

У разі ?ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х,
Y), відсутній. Коли ?ху ( 0, то між відповідними Х і Y кореляційний
зв’язок існує.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

(116)

.

Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то ?ху = 0 і rху =
0. Рівність нулеві rху є необхідною, але не достатньою умовою
незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої
коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система
двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині
кола радіусом R із центром у початку координат. Дві випадкові величини Х
і Y називають некорельованими, якщо rху = 0, і корельованими, якщо
rху ( 0.

Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з
некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх
незалежність.

Приклад 1. Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових
величин (X, Y):

Х = хj

Y = yi 5,2 10,2 15,2 Pyi

2,4 0,1a 2a 0,9a

4,4 2a 0,2a 1,8a

6,4 1,9a 0,8a 0,3a

Pxj

Знайти а. Обчислити M (X); D (X); ( (X); M (Y); D (Y); ( (Y); Kху; rху;
P (2,4 ( Y < 6,4; 5,2 < X ( 15,2). Розв’язання. Скориставшись умовою нормування (108), дістанемо: Зі знайденим а закон системи набирає такого вигляду: Х = хj Y = yi 5,2 10,2 15,2 Pyi 2,4 0,01 0,2 0,09 0,3 4,4 0,2 0,02 0,18 0,4 6,4 0,19 0,08 0,03 0,3 Pxj 0,4 0,3 0,3 Основні числові характеристики обчислюємо за формулами (109) — (116): Kху = М (XY) — М (X) М (Y) = 40,28 – 9,7 ( 4,4 = 40,28 – 42,68 = 1,4. Оскільки ?ху > 0, то між відповідними величинами існує кореляційний
зв’язок. Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислимо
коефіцієнт кореляції

Остаточно маємо:

p(2,4 ( Y < 6,4; 5,2 < X ( 15,2) = 0,2 + 0,02 + 0,09 + 0,18 = 0,31. 4. Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики Умовним законом розподілу дискретної випадкової величини Х при фіксованому значенні Y = yi називається перелік можливих значень випадкової величини Х = хi та відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Y = yi. У табличній формі запису умовний закон Х / Y = yi має такий вигляд: Pi1 / Py1 Pi2 / Py2 Pi3 / Py3 … Pim / Pym При цьому має виконуватись умова нормування: Числові характеристики для цього закону називають умовними. Умовне математичне сподівання (117) Умовна дисперсія і середнє квадратичне відхилення обчислюються відповідно за формулами ; (118) . (119) Умовним законом розподілу випадкової величини Y при фіксованому значенні Х = хі називається перелік можливих значень випадкової величини Y = уj і відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Х = хі. У табличній формі запису умовний закон має такий вигляд: P1j / Pх1 P2j / Рх2 P3j / Px3 … Pmj / Pxm При цьому має виконуватись умова нормування: . Умовне математичне сподівання (120) Умовна дисперсія (121) Умовне середнє квадратичне відхилення (122) Приклад 2. Задано двовимірний закон розподілу: Х = хj Y = yi 10 20 30 Pyi – 6 0,02 0,05 0,03 0,1 – 4 0,08 0,15 0,07 0,3 – 2 0,2 0,3 0,1 0,6 Pxj 0,3 0,5 0,2 Обчислити М (Х / Y = – 4); М (Х / Y = 30); ((Y / X= –4 ); ( (Y / X = 30). Розв’язання. Для обчислення М (Х / Y = – 4), М (Х / Y = 30) необхідно побудувати відповідні умовні закони розподілу. Умовний закон розподілу Х / Y = – 4: 0,08/0,3 0,15/0,3 0,07/0,3 (P(X / Y = – 4) = 0,8 / 0,3 + 0,15 / 0,3 + 0,07 / 0,3 = 1 M(X / Y = – 4) = 1 / 0,3 (10 ( 0,08 + 20 ( 0,15 + 30 ( 0,07) = (0,8 + 3 + 2,1) = 3,2 / 0,3 = 10,7; M(X2 / Y= – 4) = 1 / 0,3 (100 ( 0,??????????‰??????–????????†?????‰?????????????????????????‰??????????? ???????‹???‰?????‹??‹????????????????????????????? Умовний закон розподілу Y / Х = 30: 0,03 / 0,2 0,07 / 0,2 0,1 / 0,2 (P (Y / Х = 30) = 0,03 / 0,2 + 0,07 / 0,2 + 0,1 / 0,2 = 1; 1 / 0,2 (– 6 ( 0,03 – 4 ( 0,07 – 2 ( 0,1) = = 1 / 0,2 (– 0,18 – 0,28 – 0,2) = – 0,66 / 0,2= – 3,3; (36 ( 0,03 + 16 ( 0,07 + 4 ( 0,1) 1 / 0,2 (1,08 + + 1,12 + 0,4) = 2,6 / 0,2 = 13; D (Y / X = 30) = 13 – (–3,3)2 = 13 – 10,89 = 2,11; ( (X / Y = – 4) = (2,11?????? Приклад 3. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,8. Перевірці підлягають 3 деталі. Побудувати закон системи двох дискретних випадкових величин Х — появи числа бракованих деталей і Y — появи числа стандартних деталей. Обчислити rxy. Розв’язання. Запишемо закон у табличній формі: Х 0 0 0 Pxj Обчисливши ймовірності, дістанемо: Х = 0 ( 0,512 + 1 ( 0,384 + 2 ( 0,096 + 3 ( 0,008 = 0,6; M (X 2) = (xj2pxj = 0 ( 0,512 + 1 ( 0,384 + 4 ( 0,096 + 9 ( 0,008 = = 0,384 + 0,384 + 0,072 = 0,84; D (X) = M (X 2) – M2(X) = 0,84 – 0,36 = 0,48; (x = (0,48)0,5; М (Y) = (yipyi = 0 ( 0,008 + 1 ( 0,096 + 2 ( 0,384 + 3 ( 0,512 = 0,096 + + 0,768 + 0,536 = 2,4; M (Y 2) = (yi2pyi = 0 ( 0,008 + 1 ( 0,096 + 4 ( 0,384 + 9 ( 0,512 = 0,096 + + 1,536 + 4,608 = 6,24; D (Y) = M(Y 2) – M 2(Y) = 6,24 – (2,4)2 = 6,24 – 5,76 = 0,48; (y = (0,48)0,5; M (XY) = (yixjpij = 2 ( 0,384 + 2 ( 0,096 = 0,96; Kxy = M (XY) – M (X) M (Y) = 0,96 – 2,4(0,6 = 0,96 – 1,44 = – 0,48; rxy= Kxy / (x (y = – 0,48 / 0,48 = – 1. 5. Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин та її властивості Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність cпільної появи подій (X < x) ( (Y < y): F(x,y) = P((X < x) ( (Y < y)). (123) Геометрично ця функція зображена на рис. 62 Рис. 62 Властивості F(x, y) 0 ( F(x, y) ( 1, оскільки 0 ( P((X < x) ( (y < y)) ( 1. , а саме: (124) (125) . (126) (127) 5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у. ! Доведення. F(x2, y) ( F(x1, y), x2 > x1.

Нехай А = (Х < x2, Y < y), B = (X < x1, Y < y), C = (x1 < X < x2, Y < y) (рис. 63 а). Рис. 63 a Оскільки В ( С ( (, то А = В ( С (А = В + C). Тоді Р(А) = Р(В ( С) = Р(В) + Р(С). Узявши до уваги, що дістанемо: Аналогічно доведемо, що F(x, y2) ( F(x, y1), y2 > y1.

Позначимо тепер А = (Х < x, Y < y2), B = (X < x, Y < y1), C = (Х < x, у1 < У < у2) (рис 63 б). Рис. 63 б Оскільки В ( С = (, то А = В ( С ( Р(А) = Р(В ( С) = Р(В) + Р(С). Скориставшись властивістю (5), можна обчислити ймовірності Р(а < Х < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y); P(X < x, c < Y < d) = F(x, d) – F(x, c). (128) 6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так: P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c). (129) ! Доведення. Розглянемо такі випадкові події: A = (X < b, Y < d); B = (X < a, Y < c); C = (a < X < b, Y < c); D = (X < a, c < Y < d); E = (a < X < b, c < Y < d) (рис. 64). Рис. 64 Оскільки випадкові події B, C, D, E несумісні, маємо: A = B ( C ( D ( E. P(A) = P(B ( C ( D ( E) = P(B) + P(C) + P(D) + P(E). P(x < b, y < d) = P(x < a, y < c) + P(a < x < b, y < c) + + P(х < a, c < у < d) + P(a < x < b, c < y < d). Згідно із (128) дістанемо: F(b, d) = F(a, c) + F(b, c) – F(a, c) + F(a, d) – F(a, c) + + P(a < X < b, c < Y < d); P(a < X < b, c < Y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c), що й треба було довести Приклад 4. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) задано функцією розподілу ймовірностей Обчислити P(0 < x < 4,0 < y < 2). Розв’язання. Відповідну графічну схему зображено на рис. 65. Рис. 65 Далі згідно зі (129) маємо: P(0 < x < 4; 0 < y < 2) = F(4; 2) + F(0; 0) – F(0; 2) – F(4; 0) = 1 – e – 8 – e – 6 + e – 14. 6. Щільність імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y), f(x, y) та її властивості Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей. Для визначення щільності ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) застосовується формула (129). Розглянемо прямокутник зі сторонами (х та (у (рис. 66). Рис. 66 Імовірність розміщення системи (Х, Y) у прямокутній області (x < X < x + (x, y < Y < y + (y) обчислюється за формулою P(x < X < x + (x, y < Y < y + (y) = = F(x + (x, y + (y) + F(x, y) – F(x + (x, y) – F(x, y + (y). Поділивши цю ймовірність на площу прямокутника (x, (y і спрямувавши (x ( 0, (y ( 0, дістанемо ймовірність у точці, тобто щільність: Отже, (130) Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною. Функції f (x, y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y). Тоді f (x, y) dxdy — імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонами dx, dy. Властивості f (x, y) Функція f (x, y) ( 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така: (131) , то (131) набирає такого вигляду: . (132) ?   ? 1/4 ? O H J ` ` gdAE# i q u gdAE# gdAE# „A `„A gdAE# gdAE# gdAE# j? gdAE# gdAE# gdAE# gdAE# ©kd gdAE# gdAE# gdAE# gdAE# gdAE# i i gdAE# a$gdAE# ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? G gdAE# gdAE# gdAE# & F gdAE# к: (133) Імовірність розміщення системи змінних (х, у) у прямокутній області D = (a < x < b, c < y < d) (134) 4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння (135) (136) Приклад 5. Задано f (x, y) = a, якщо (x, y) ( (, a = const; f (x, y) = 0, якщо (x, y) ( (, де ( = (–2 ( x ( 4, –3 ( y ( 5). Знайти a і F(x, y). Обчислити P(–1 < x < 2, –2 < y < 3). Розв’язання. Множина ( зображена на рис. 67. Рис. 67 Для визначення а застосовуємо умову нормування (131): , . Отже, маємо f (x, y) = 1/48, якщо (x, y) ( (, f (x, y) = 0, якщо (x, y) ( (. Згідно зі (136) при –2 < x < 4, –3 < y < 5 дістанемо: Якщо –2 < x < 4, y > 5, то

Якщо x > 4, – 3 < y < 5, то Звідси 7. Основні числові характеристики для системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) (137) (138) (139) (140) (141) (142) , то виконуються співвідношення: (143) (144) (145) (146) (147) , то маємо: (148) (149) (150) (151) (152) 8. Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х і Y, які утворюють систему (Х, Y) Як і в системі двох дискретних випадкових величин, у системі двох неперервних випадкових величин розглядаються умовні закони розподілу. Ураховуючи (124), можна записати (153) Звідси (154) (155) Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y), визначаються умовними щільностями ймовірностей f (x / y), f (y / x): . (156) Аналогічно доводимо співвідношення (157) Із (156), (157) дістаємо f (x, y) = f (x) f (y / x) = f (y) f (x / y). (158) Для умовних законів розподілу неперервних випадкових величин умова нормування має такий вигляд: (159) Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y). (160) У цьому разі (158) набирає вигляду f (x, y) = f (x) f (y). (161) Для незалежних випадкових величин Х та Y виконується рівність F(x, y) = F(x) F(y). (162) Числові характеристики для умовних законів розподілу ймовірностей: (163) (164) (165) (166) 9. Стохaстична залежність , або F(x, y) = F(x) F(y). Для неперервних випадкових величин Х і Y умовy незалежності можна подати через щільності ймовірностей: f (x, y) = f (x) f (y). Умову незалежності можна записати і так: f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y). Залежність випадкових величин у певному розумінні є узагальненням поняття функціональної залежності. Якщо в разі функціональної залежності між величинами Х та Y кожному значенню Х = х відповідає певне значення Y = у, то в разі залежності між випадковими величинами Y і Х кожному можливому значенню Х = х відповідає множина значень Y, які характеризуються умовними щільностями ймовірності f (y / x). Отже, залежність між випадковими величинами означає аналітичну залежність щільності умовного розподілу однієї з них від значень, яких набуває друга величина. Таку залежність називають стохастичною або ймовірнісною. Виявляється вона не лише у зміні умовних законів розподілу, а й у зміні умовних числових характеристик: M (X / y), M (Y / x), D (X / y), D (Y / x), тобто умовних математичних сподівань та умовних дисперсій (рис. А—F). Рис. А. Стохастична і кореляційна залежність між Y та Х, М (Y / х) = ((х) Рис. B. Стохастична і кореляційна залежність між Х та Y, Рис. С. Стохастична залежність між Y та Х, D (Y / х) = ((х); кореляційний зв’язок відсутній Рис. D. Стохастична залежність між Х і Y, D (X / у) = ((у); Рис. Е. Незалежні випадкові величини Рис. F. Незалежні випадкові Отже, рис. А, В ілюструють те, що кореляційною залежністю між випадковими величинами Y і Х є функціональна залежність умовних математичних сподівань М (X / у), М (Y / х) від аргументів у та х: М (X / у) = ((у). (167) М (Y / х) = ((х). (168) Рівняння (167) та (168) називають рівняннями регресії. Якщо М (Y / х) = М (y), М (X / у) = М (х), то кореляційна залежність відсутня, але існує стохастична залежність (див. рис. С і D), оскільки змінюються умовні дисперсії. Випадок, коли між Х і Y відсутня стохастична, а отже, і кореляційна залежність, ілюструють рис. Е і F. Отже, якщо між випадковими величинами Y і Х існує кореляційна залежність, то між ними обов’язково іcнує й стохастична залежність. Але за наявності стохастичної залежності між випадковими величинами Х і Y кореляційної залежності між ними може й не бути. Приклад 6. Задано f (x, y) = 1/48, якщо (x, y) ( (; f (x, y) = 0, якщо (x, y) ( (. Знайти Kху, rху. Розв’язання. Застосовуючи (148) — (152), дістаємо: Kxy = M (XY) – M (X) M (Y) = –1 – (–1)1 = –1+1 = 0. Отже, Kxy = 0, що говорить нам про відсутність кореляційного зв’язку між випадковими величинами Х та Y. Оскільки Kxy = 0, то й rxy = 0. При знайдених f (x), f (y) числові характеристики можна обчислити і за такими формулами: (169) (170) (171) (172) Приклад 7. Задано –( ( х ( (, –( ( у ( (. Знайти а, М (х / у), М (у / х). Обчислити rxy. Розв’язання. Згідно з умовою нормування (132) маємо: і при цьому , – ( ( x ( (, – ( ( y ( (. Скориставшись (154), знайдемо Отже, , – ( ( х ( (. Далі, застосувавши (155), знайдемо: Отже, , – ( ( у ( (. Знайдемо основні числові характеристики. Згідно з (137) — (142) маємо: , оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування симетричні відносно нуля. . . Таким чином, дістали . Визначимо умовні щільності ймовірностей, скориставшись (156) і (157): Отже, , – ( ( у ( (. Звідси , – ( ( х ( (. є лінійною функцією регресії відносно аргументу у. Аналогічно маємо: також є лінійною функцією регресії відносно аргументу х. Приклад 8. Задано ; Знайти а і rxy. Розв’язання. Область ( зображено на рис. 68. Рис. 68 За умовою нормування (131) обчислюємо значення а: Отже, а = 2. Тоді , . Числові характеристики знаходимо за (137) — (142): . . . . Отже, Kху = 1,48; Rxy ( 0,197. 10. Система довільного числа випадкових величин 10.1. Функція розподілу системи n випадкових величин Функцією розподілу n випадкових величин називається така функція від n аргументів (х1, х2 … хп), яка визначає ймовірність спільної одночасної появи подій ((Х1 < х1) ( (X2 < х2) ( (X3 < х3) ( … ( (Xn < х1n): (173) Ця функція має всі властивості функції розподілу ймовірностей одного та двох аргументів. Якщо принаймні один з аргументів хі ( – (, то функція розподілу ймовірностей системи п випадкових величин прямує до нуля. Якщо із системи х1, х2,… хп виділимо деяку підсистему х1, х2,…, хk (k < n), то функцію розподілу для цієї підсистеми дістанемо, коли решта аргументів прямуватиме до (: Зокрема, дістанемо функцію розподілу одного аргументу, якщо всі аргументи, окрім х1, спрямуємо до (: . 10.2. Щільність імовірностей системи n випадкових величин Щільність імовірностей системи п випадкових величин є функція (174) Умова нормування для системи п неперервних випадкових величин (175) Щільність імовірностей для деякої підсистеми (х1, х2 ,… хk) системи (х1, х2 ,… хп), де k < n подається у вигляді (176) Наприклад, (177) Умовна щільність підсистеми (х1, х2,…, хk) системи (х1, х2,…, хп) (k < n) визначається за формулою . (178) Якщо випадкові величини системи (х1, х2 ,…, хп) є незалежними, то (179) 10.3. Числові характеристики системи n випадкових величин (180) (181) (182) При цьому виконується рівність . (183) Коли i = j, маємо: (184) Усі кореляційні моменти і дисперсії розміщують у вигляді квадратної таблиці, яка називається кореляційною матрицею системи п випадкових величин і має такий вигляд: . (185) , заповнюють лише половину кореляційної матриці. І в цьому випадку вона набуває такого вигляду: . (186) для всіх i = 1, …, n; j = 1, …, n, то кореляційна матриця набирає такого вигляду: . (187) Таку матрицю називають діагональною. визначаємо парні коефіцієнти кореляції: (188) . Із парних коефіцієнтів кореляції утворюють так звану нормовану квадратну матрицю: . (189) Приклад 9. Дано кореляційну матрицю системи (х1, х2, …, хп): . Побудувати нормовану кореляційну матрицю. Розв’язання. Згідно зі (188) маємо: . Нормована кореляційна матриця подається у вигляді . ЛІТЕРАТУРА Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961. PAGE

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *