Аналітичне (символьне) представлення неперервних перетворень r1, що зберігають фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича (Реферат)

Реферат з вищої математики

на тему:

Аналітичне (символьне) представлення

неперервних перетворень R1,

що зберігають фрактальну розмірність

Хаусдорфа-Безиковича

Під аналітичним заданням (представленням) перетворення ми розуміємо
формули, що встановлюють зв’язок між координатами довільної точки M
простору Rn і її образу M’ в одній і тій же системі координат.

–– розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини A.

Як відомо, група Hf перетворень, що зберігають фрактальну розмірність,
містить групу афінних перетворень, яка, в свою чергу, містить підгрупу
перетворень подібності, але далеко цими перетвореннями не вичерпується
[1-3].

Як свідчать »тонкі» приклади фрактальних перетворень відрізка [0;1],
наведені в [1], надії на те, що адекватна для них система координат може
відносно просто визначатись, немає. Вона має »враховувати» складну
локальну будову фрактальних множин (фракталів).

Обмежимось поки що розглядом неперервних перетворень відрізка [0;1]. Як
відомо, до таких відносяться лише строго монотонні функції f(x), такі,
що f(x)=F(x) або f(x)=1- F(x), де F(x) –– неперервна функція розподілу
ймовірності на [0;1].

Позначатимемо через

–– інтервал з тими ж самими кінцями, вважаючи, що завжди

.

Нехай задана система Ф подрібнюючих розбиттів [0;1]:

,

,

і

).

Вона визначає систему координат на [0;1], тобто сукупність умов для
визначення положення точки.

Справді, множина

,

. З іншого боку, для кожної точки відрізка [0;1] існує нескінченна
послідовність вкладених відрізків

ми символічно будемо зображати

Таку систему подрібнюючих розбиттів Ф називатимемо локально тонкою
системою координат на [0;1], скорочено: ЛТСК.

) такий, що

називається k-тою Ф-координатою або Ф-двійковим кодом x.

містить ті і тільки ті точки, що мають перші m Ф-координат відповідно
рівні c1, c2, …, cm. Його ще називатимемо циліндричною множиною
(циліндром) m-го рангу з основою c1c2…cm.

Легко бачити, що для деяких точок (їх зчисленна множина) координати
визначаються неоднозначно, оскільки

) в системі Ф1 переходить в точку x’, яка в системі Ф2 має такі ж самі
координати, тобто

Теорема 2. Образом локально тонкої системи координат при неперервному
перетворенні f відрізка [0;1] є локально тонка система координат.

Теорема 3. Якщо Ф1 –– фрактальна система координат на відрізку [0;1], а
f –– фрактальне перетворення [0;1], то f подається у вигляді

,

де Ф2 –– образ Ф1 при перетворенні f. При цьому

[0;1].

Теорема 4. Якщо Ф1 i Ф2 –– дві ЛТСК, то функція

) –– координати точки x в ЛТСК Ф1 i

зберігає фрактальну розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

Література

Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G., Fractal probability
distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch
dimension. –– Preprint SFB-256, Bonn, 2001 (No. 751). –– 35p.

S. Albeverio, M. Pratsiovytyi, G. Torbin, Fractal probability
distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch
dimension // Ergodic Theory and Dynamical Systems. –– 2004, 24, No. 1.
–– P. 1-16.

Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Фрактальна геометрія та перетворення, що
зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича // Динамічні системи: Праці
Українського математичного конгресу — 2001. –– Київ: Ін-т математики НАН
України, 2003. –– C.77-93.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *