Аналітична геометрія на площині (реферат)

Реферат на тему:

Аналітична геометрія на площині

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

y = k(x + b
(2.3)

де k=tg( — нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані,
відповідно, на рис.2.3б-г.

y y y
y

b

b

x 1350 x
x x

a

а б в
г

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

Ax + By + C = 0
(2.2)

Якщо B(0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади. Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому
прикладі k=tg(= -1, отже (=1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо
y=2x+2 , отже, k=tg(=2 (рис. 2.4,б).

y y

2x-y+2=0

y=1-x 2

1

(=1350

1 x -1
x

а
б

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x1;y1) та (x2;y2):

, (2.3)

або, що те саме,

. (2.3()

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої
прямої y=ax+b :

y-y1=a(x-x1)
(2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до
заданої прямої y=ax+b :

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за
допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y+2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

-2x+y=2,

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

y=2x+2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x1;y1)=(-1;0) та
(x2;y2)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві
точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y=a1x+b1 та y=a2x+b2 обчислюється за формулою

Прямі y=a1x+b1 та y=a2x+b2 отже, є паралельними, якщо a1=a2, та
перпендикулярними, якщо a1(a2 = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

.

Відстань від точки M(x1;y1) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою

.

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно
від його ціни p на ринку задається формулою p=p(Q)=500-10Q. Пропозицію
Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає
формула p=p(Q)=50+5Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну
рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

p

500

Пропозиція

p*

Попит

50

Q*
Q

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p* (а також рівноважний випуск Q*) визначаємо як точку
перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних
рівнянь

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p*=200
та Q*=30 .

Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10.
Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій
фірмі, Vc=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять Fc=40.
Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються
залежністю

Tc = Fc + Q(Vc = 40+5Q .

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

TR = p(Q =10Q .

Визначимо такий випуск Q*, за якого доход фірми збігається з її
витратами:

TR = TC ,

10Q = 40+5Q ,

Q* = 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі
починається при Q*>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

Tc,TR

TR(доход)=10Q

Tc(витрати)=40+5Q

40

Q*=8 Q

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі
криві, рівняння яких містять змінні x2 і/або y2.

Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд

(x-a)2+(y-b)2=r2 .

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку
координат) це рівняння спрощується:

x2+y2=r2 .

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від
двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

A(x;y)

c

F1 F2

Рис. 2.7.

Точки F1(-c;0) та F2(c;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

;

c2=a2-b2.

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця
відстаней до фокусів F1 та F2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

;

c2=a2+b2.

y

A(x;y)

x

F1(-c;0) F2(c;0)

Рис. 2.8.

) є таким (рис. 2.9):

y = 2px

B A(x;y)

p/2 p/2

F

Рис. 2.9.

.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *