Реферат на тему:
Задачі нелінійного програмування. Деякі основні методи їх розв’язування
та аналізу.
План.
1. Метод множників Лагранжа.
2. Розв’язування задач з використанням методу множників Лагранжа.
3. Література
Метод множників Лагранжа
називаються множниками Лагранжа, вони складають функцію Лагранжа.
(1)
рівнянь.
(2)
. Відповідно, розв‘язавши систему рівнянь (2), одержимо всі точки, в
яких функція може мати екстремальне значення. Далі дослідження знайдених
точок проводяться так само, як у випадку безумовного екстремуму.
Таким чином, визначення екстремальних точок задачі методом множників
Лагранжа включає наступні етапи:
Складають функцію Лагранжа.
і прирівнюють їх до нуля.
розв‘язуючи систему рівнянь (2), знаходять точки в яких цільова функція
задачі може мати екстремум.
Серед точок, підозрілих на екстремум, знаходять такі, в які досягаєть
екстремум, і вираховують значення функції в цих точках.
Задача 1.
грн. Визначити, скільки виробів кожним із способів потрібно виробити,
щоб загальні затрати на виробництво продукції були мінімальними.
Розв‘язання.
Математична постановка задачі полягає у визначенні мінімального
значення функт
(3)
при умовах
(4)
(5)
Спочатку знайдемо рішення задачі, використовуючи її геометричну
інтерпретацію. Областю допустимих значень вихідної задачі є відрізок
прямої АВ (малюнок 1), а лінія рівня – округлості з центром в точці Е
(-2;-4).
A
D
B
O
(Мал. 1)
і диференціюючи рівняння округлості, маємо
Прирівнявши одержаний вираз до числа – 1, одержимо одне із рівнянь для
визначення координат точки D. Додаючи до нього рівняння прямої, на якій
лежить точка D, маємо систему
=89. Це означає, що якщо підприємство виготовить 91 виріб І
технологічним способом і 89 виробів, то загальні витрати будуть
мінімальними і складуть 17278 грн.
Розв‘яжемо тепер задачу, використовуючи метод множників Лагранжа.
Знайдемо мінімальне значення функції (3) і при умові (4), тобто без
врахування вимог невід‘ємності змінних. Для цього складемо функцію
Лагранжа
і прирівняємо їх до нуля.
і прирівнявши їх ліві частини, одержимо
, тобто одержимо координати точки D, що задовольняє умову (5). Ця
точка є підозрюваною на екстремум. Використовуючи другі частинні
похідні, можна показати, що в точці D функція f має умовний мінімум. Цей
результат був одержаний вище
:
Так само як і вище встановлюємо, що в даній точці функція f має
мінімальне значення.
Задача 2.
Знайти точки екстремуми функції при умові .
Розв‘язання.
Складемо функцію Лагранжа
і прирівняємо їх до нуля.
В результаті одержимо систему рівнянь
(6)
.
потім серед цих точок відібрати ті, координати яких задовольняють
умову зв‘язку g(X)
Література. Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навч. посіб. – К.:КНЕУ, 2003.- 452 с. Барвінський А.Ф та ін. Математичне програмування: Навчальний посібник / А.Ф. Барвінський, І.Я. Олексів, З.І. Крупка, І.О. Бобик, І.І. Демків, Р.І. Квіт, В.В. Кісілевич – Львів: Національний університет “Львівська політехніка” (Інформаційно-видавничий центр “Інтелект+” Інститут післядипломної освіти) “Інтелект - Захід”, 2004. – 448 с. Акулич М.Л. Математичиское програмирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов экономических специальних вузов. – Вища школа, 1985-319с.,ст.270-274. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навч. – метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ, 2001. – 248 с. Математичне програмування (методичний посібник для студентів економічних спеціальностей)/Укладачі: Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С., - Чернівці: „Рута”, 1998.-168 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
