Визначення оптимальних змішаних стратегій підприємств на базі теорії ігор (курсова робота)

курсова робота

Визначення оптимальних змішаних стратегій підприємств на базі теорії
ігор.

Зміст

Вступ………………………………………………………….
…………………………………………………………3

1.
Завдання……………………………………………………….
……………………………………………………4

2. Теоретична
частина………………………………………………………..
………………………………….8

2.1. Теорія
ігор…………………………………………………………..
………………………………………8

2.1.1. Поняття про ігри і
стратегії………………………………………………………
……………8

2.1.2. Запис матричної гри у вигляді платіжної
матриці…………………………………..8

2.1.3. Поняття про нижню і верхню ціну гри. Вирішення гри в
чистих
стратегіях……………………………………………………..
………………………………………………………8

2.1.4. Поняття про матричні ігри зі змішаним
розширенням…………………………..10

2.1.5. Вирішення матричних ігор із змішаним розширенням методами
лінійного
програмування…………………………………………………..
………………………………………………..11

2.1.6. Основні чинники, що визначають величину ефекту прогнозу
станів навколишнього середовища і значень виграшу
ЛПР……………………………………………..13

2.2. Сітьове
планування……………………………………………………..
…………………………….16

2.2.1. Мережеве подання програми (мережева
модель)…………………………………..16

2.2.2. Розрахунок мережевої
моделі…………………………………………………………
…….18

2.2.3. Визначення критичного
шляху………………………………………………………….
…19

2.2.4. Визначення резервів
часу…………………………………………………………..
………..20

2.2.5. Побудова календарного графіка і розподіл
ресурсів……………………………..21

2.2.6. Імовірнісні фактори, що враховуються при календарному
плануванні
програм………………………………………………………..
…………………………………………………….23

3. Розрахункова
частина………………………………………………………..
……………………………26

3.1. Завдання
1……………………………………………………………..
………………………………….26

3.2. Завдання
2……………………………………………………………..
………………………………….32

3.3. Завдання
3……………………………………………………………..
………………………………….36

Висновки……………………………………………………….
………………………………………………………..39

Список використаної
літератури……………………………………………………..
………………………40

Вступ

Теорія ігор — теорія математичних моделей прийняття оптимальних рішень в
умовах конфлікту.

Так як сторони, які беруть участь більшості конфліктів зацікавлені в
тому, щоб приховати від супротивника свої наміри, прийняття рішень в
умовах конфлікту, як правило, виявляється прийняттям рішень в умовах
невизначеності. Навпаки, фактор невизначеності можна інтерпретувати як
противника суб’єкта, який приймає рішення (тим самим прийняття рішень в
умовах невизначеності можна розуміти як прийняття рішень в умовах
конфлікту). Зокрема, багато тверджень математичної статистики природнім
чином формулюються як теоретико-ігрові.

Логічною основою теорії ігор є формалізація трьох понять, які входять в
її визначення і є фундаментальними для всієї теорії:

Конфлікт,

Прийняття рішення в конфлікті,

Оптимальність прийнятого рішення.

Ці поняття розглядаються в теорії ігор у найширшому сенсі. Їх
формалізації відповідають змістовним уявленням про відповідні об’єкти.

Змістовно, конфліктом можна вважати будь-яке явище, відносно якого можна
казати про його учасників, про їхні дії, про результати явищ, до яких
призводять ці дії, про сторони, які так чи інакше зацікавлені в таких
наслідках, і про сутність цієї зацікавленості.

Завдання

Завдання 1

Два підприємства виготовляють продукцію і постачають її на ринок
регіону. Вони є єдиними постачальниками продукції в регіоні, тому
повністю визначають ринок даної продукції в регіоні.

Кожне з підприємств має можливість виготовляти продукцію із
застосуванням однієї з п’ятьох різних технологій. Залежно від якості
продукції, виготовленої за кожною технологією, підприємства можуть
встановити ціну одиниці продукції на рівні 10, 8, 6, 4 і 2 грошові
одиниці відповідно. При цьому підприємства мають різні витрати на
виробництво одиниці продукції. (табл. 1).

Таблиця 1. Витрати на одиницю продукції, виготовленої на підприємствах
регіону (гр.од.).

Технологія Ціна реалізації одиниці продукції, гр.од. Повна собівартість
одиниці продукції, гр.од.

Підприємство 1 Підприємство 2

I 10 5 8

II 8 4-0.1*N 6

III 6 3+0.1*N 4-0.2*N

IV 4 2 2

V 2 1,5-0.1*N 1+0.1*N

де N – номер варіанта.

В результаті маркетингового дослідження ринку продукції регіону була
визначена функція попиту на продукцію:

Y = 8 – (0.3+0,1((N-1)) (X

де Y – кількість продукції, яку придбає населення регіону (тис. од.), а
X – середня ціна продукції підприємств, гр.од.

Значення часток продукції підприємства 1, придбаної населенням, залежать
від співвідношення цін на продукцію підприємства 1 і підприємства 2. В
результаті маркетингового дослідження ця залежність встановлена і
значення обчислені (табл. 2).

Таблиця 2. Частка продукції підприємства 1, що купується населенням
залежно від співвідношення цін на продукцію

Ціна реалізації 1 од. продукції, гр.од. Частка продукції підприємства 1,
купленої населенням

Підпр. 1 Підпр. 2

10 10 0,31+0.1*(N-1)

10 8 0,33

10 6 0,25

10 4 0,2

10 2 0,18

8 10 0,4

8 8 0,35

8 6 0,32

8 4 0,28

8 2 0,25

6 10 0,52

6 8 0,48

6 6 0,4

6 4 0,35

6 2 0,3-0.02*N

4 10 0,6

4 8 0,58

4 6 0,55+0.05*N

4 4 0,5

4 2 0,4

2 10 0,9

2 8 0,85

2 6 0,7

2 4 0,65

2????

По умові завдання на ринку регіону діє тільки 2 підприємства. Тому
частку продукції другого підприємства, придбаної населенням, залежно від
співвідношення цін на продукцію можна визначити як одиниця мінус частка
першого підприємства.

Стратегіями підприємств в даному завданні є їх рішення щодо технологій
виробництва продукції. Ці рішення визначають собівартість і ціну
реалізації одиниці продукції. У завданні необхідно визначити:

1. Чи існує в даному завданні ситуація рівноваги при виборі технологій
виробництва продукції обома підприємствами?

2. Чи існують технології, які підприємства свідомо не вибиратимуть
внаслідок невигідності?

3. Скільки продукції буде реалізовано в ситуації рівноваги? Яке
підприємство опиниться у виграшному положенні?

Завдання 2.

Необхідно визначити:

1. Найбільш вигідну стратегію і величину виграшу за прогнозом
підприємства і консультаційної служби;

2. Величину додаткового виграшу підприємства від зміни ухвалюваного
рішення при переході до достовірнішого прогнозу;

3. Величину додаткового виграшу підприємства за рахунок підвищення
достовірності прогнозу;

4. Значення загального ефекту від застосування прогнозу консультаційної
служби;

S1 S2 S3

Pj 0,3 0,4 0,3

A1 30 25-0,5N 22+N

A2 24+N/5 40 33

A3 18+N/6 40+N 60+0,3N

Рис. 1. Платіжна матриця завдання за прогнозом підприємства

S1 S2 S3

Pj N/50 0,5 0,5-N/50

A1 30 26 22-N/10

A2 20+0,2N 40 33

A3 15+0,1N 40+N/2 55+N

Рис. 2. Платіжна матриця завдання за прогнозом консультаційної служби

N – номер варіанта.

5. Дайте економічну інтерпретацію результатів рішення задачі.

Визначите, чи доцільно господарству працювати з даною консультаційною
службою в майбутньому, якщо консультаційна служба продала даний прогноз
підприємству за 4,5+N100 тис. гр.од.

Завдання 3.

1. Побудувати сітьовий граф програми, заданої послідовністю операцій,
представленою в таблиці з вихідними даними Вашого варіанту.

2. Обчислити математичні очікування Е(Dіj) тривалостей операцій по трьох
заданих оцінках тривалостей a, b, m.

3. Обчислити дисперсії Var(Dij) тривалостей операцій.

4. Оцінити ранні ESj та пізні LCi терміни настання подій в мережі.
Визначити критичний шлях.

5. Оцінити ймовірності настання всіх подій у мережі не пізніше
директивного терміну (як директивний термін прийняти пізній термін
настання події).

6. Побудувати календарний графік виконання програми.

Умовні позначки, прийняті у варіанті завдання

Номерація стовпців відповідає:

1 – найменування операції;

2 – попередні операції;

3 – оптимістичний термін виконання операції (a);

4 – песимістичний термін (b);

5 – найбільш ймовірний термін (m);

6 – вартість виконання операції в “нормальному” режимі;

2. Теоретична частина

2.1. Теорія ігор

2.1.1. Поняття про ігри і стратегії

Гра (у математиці) — це математична модель колективної поведінки, що
ідеалізується: декілька гравців впливають на результат гри, причому їх
інтереси різні.

Регулярна дія, що виконується гравцем під час гри, називається ходом.
Сукупність ходів гравця, що здійснюються їм для досягнення мети гри,
називається стратегією.

2.1.2. Запис матричної гри у вигляді платіжної матриці

У загальному вигляді матрична гра може бути записана наступною
платіжною матрицею (рис. 3.)

B1 B2 . Bn

A1 A11 A12 … A1n

A2 A21 A22 … A2n

. … … … …

Am am1 am2 … amn

Рис. 3. Загальний вид платіжної матриці матричної гри

де Ai – назви стратегій гравця 1, Bj – назви стратегій гравця 2, aij –
значення виграшів гравця 1 при виборі ним i – й стратегії, а гравцем 2 –
j – й стратегії. Оскільки дана гра є грою з нульовою сумою, значення
виграшу для гравця 2 є величиною, протиставленою по знаку значенню
виграшу гравця 1.

2.1.3. Поняття про нижню і верхню ціну гри. Вирішення гри в чистих
стратегіях

Кожен з гравців прагне максимізувати свій виграш з урахуванням поведінки
протидіючого йому гравця. Тому для гравця 1 необхідно визначити
мінімальні значення виграшів в кожній із стратегій, а потім знайти
максимум з цих значень, тобто визначити величину:

Vн = maxi minj aij ,

або знайти мінімальні значення по кожному з рядків платіжної матриці, а
потім визначити максимальне з цих значень. Величина Vн називається
максиміном матриці або нижньою ціною гри.

Величина виграшу гравця 1 рівна, за визначенням матричної гри, величині
програшу гравця 2. Тому для гравця 2 необхідно визначити значення:

Vв = minj maxi aij .

Або знайти максимальні значення по кожному із стовпців платіжної
матриці, а потім визначити мінімальне з цих значень. Величина Vв
називається мінімаксом матриці або верхньою ціною гри.

У випадку, якщо значення Vн і Vв не співпадають, при збереженні правил
гри (коефіцієнтів aij ) в тривалій перспективі, вибір стратегій кожним з
гравців виявляється нестійким. Стійкості він набуває лише при рівності
Vн = Vв = V. В цьому випадку говорять, що гра має рішення в чистих
стратегіях, а стратегії, в яких досягається V, — оптимальними чистими
стратегіями. Величина V називається чистою ціною гри, наприклад, в
матриці (рис. 4).

B1 B2 B3 B4 Minj

A1 7 6 5 4 4

A2 1 8 2 3 1

A3 8 1 3 2 1

Maxi 8 8 5 4

Рис. 4. Платіжна матриця, в якій існує рішення в чистих стратегіях

При цьому для гравця 1 оптимальною чистою стратегією буде стратегія A1,
а для гравця 2 – стратегія B4.

У матриці (рис. 5.) рішення в чистих стратегіях не існує, оскільки нижня
ціна гри досягається в стратегії A1 і її значення рівне 2, тоді як
верхня ціна гри досягається в стратегії B4 і її значення рівне 3.

B1 B2 B3 B4 Minj

A1 7 6 5 2 2

A2 1 8 2 3 1

A3 8 1 3 2 1

Maxi 8 8 5 3

Рис. 5. Платіжна матриця, в якій не існує рішення в чистих стратегіях

2.1.4. Поняття про матричні ігри із змішаним розширенням

Дослідження в матричних іграх починається із знаходження її чистої ціни.
Якщо матрична гра має рішення в чистих стратегіях, то знаходженням
чистої ціни закінчується дослідження гри. Якщо ж в грі немає рішення в
чистих стратегіях, то можна знайти нижню і верхню ціни цієї гри, які
указують, що гравець 1 не повинен сподіватися на виграш більший, ніж
верхня ціна гри, і може бути упевнений в отриманні виграшу не менше
нижньої ціни гри. Поліпшення вирішень матричних ігор слід шукати у
використанні секретності застосування чистих стратегій і можливості
багатократного повторення ігор у вигляді партії. Цей результат
досягається шляхом застосування чистих стратегій випадково, з певною
вірогідністю.

Змішаною стратегією гравця називається повний набір чистих стратегій,
застосованих відповідно до встановленого розподілу вірогідності.
Матрична гра, що вирішується з використанням змішаних стратегій,
називається грою із змішаним розширенням.

Стратегії, застосовані з вірогідністю, відмінною від нуля, називаються
активними стратегіями.

Доведено, що для всіх ігор із змішаним розширенням існує оптимальна
змішана стратегія, значення виграшу при виборі якої знаходиться в
інтервалі між нижньою і верхньою ціною гри:

Vн ( V ( Vв .

За цієї умови величина V називається ціною гри.

Крім того, доведено, що, якщо один з гравців дотримується своєї
оптимальної змішаної стратегії, то виграш залишається незмінним і рівним
ціні гри V, незалежно від того, яких стратегій дотримується інший
гравець, якщо тільки він не виходить за межі своїх активних стратегій.
Тому, для досягнення найбільшого гарантованого виграшу другому гравцеві
також необхідно дотримуватися своєї оптимальної змішаної стратегії.

2.1.5. Вирішення матричних ігор із змішаним розширенням методами
лінійного програмування

Вирішення матричної гри із змішаним розширенням – це визначення
оптимальних змішаних стратегій, тобто знаходження таких значень
вірогідності вибору чистих стратегій для обох гравців, при яких вони
досягають найбільшого виграшу.

Для матричної гри, платіжна матриця якої показана на рис. 3, Vн( ( Vв,
визначимо такі значення вірогідності вибору стратегій для гравця 1 (p1,
p2, …, pm) і для гравця 2 (q1, q2, …, qn), при яких гравці досягали
б свого максимально гарантованого виграшу.

Якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то, по
умові завдання, його виграш не може бути менше ціни гри V. Тому дане
завдання може бути представлена для гравців у вигляді наступних систем
лінійних нерівностей:

Для першого гравця:

Для другого гравця:

Щоб визначити значення V, розділимо обидві частини кожного з рівнянь на
V. Величину pi/V позначимо через xi, а qj/V – через yj.

Для гравця 1 отримаємо наступну систему нерівностей, з якої знайдемо
значення 1/v:

Для гравця 1 необхідно знайти максимальну ціну гри (V). Отже, значення
1/V повинне прагнути до мінімуму.

Цільова функція завдання матиме наступний вигляд:

min Z = min 1/V = min (x1 + x2 + … + xm)

Для гравця 2 отримаємо наступну систему нерівностей, з якої знайдемо
значення 1/v:

Для гравця 2 необхідно знайти мінімальну ціну гри (V). Отже, значення
1/V повинне прагнути до максимуму.

Цільова функція завдання матиме наступний вигляд:

max Z = max 1/V = max (y1 + y2 + … + yn)

Всі змінні в даних системах лінійних нерівностей повинні бути
ненегативними: xi = pi/V, а yi = qj/V. Значення pi і qj не можуть бути
негативними, оскільки є значеннями вірогідності вибору стратегій
гравців. Тому необхідно, щоб значення ціни гри V не було негативним.
Ціна гри обчислюється на основі коефіцієнтів виграшів платіжної матриці.
Тому, для того, щоб гарантувати умову позитивності для всіх змінних,
необхідно, щоб всі коефіцієнти матриці були ненегативними. Цього можна
добитися, додавши перед початком рішення завдання до кожного коефіцієнта
матриці число K, відповідне модулю найменшого негативного коефіцієнта
матриці. Тоді в ході рішення задачі буде визначена не ціна гри, а
величина V* = V + K.

Для вирішення завдань лінійного програмування використовується
симплекс-метод. В результаті рішення визначаються значення цільових
функцій (для обох гравців ці значення співпадають), а також значення
змінних xi і yj .

Величина V* визначається по формулі: V* = 1/z.

Значення вірогідності вибору стратегій визначаються: для гравця 1: Pi =
xiV*, а для гравця 2: qi = yiV*.(

Для визначення ціни гри V з величини V* необхідно відняти число K.

2.1.6. Основні чинники, що визначають величину ефекту прогнозу станів
навколишнього середовища і значень виграшу ЛПР

На основі методів вирішення статистичних ігор можна сформулювати деякі
підходи до вирішення різноманітних прикладних економічних завдань. Одне
з таких завдань — визначення економічного ефекту інформації.

Для будь-якого економічного завдання, що вирішується з використанням
статистичних ігор, може бути сформульоване абсолютне мінімальне значення
виграшу A0, який ЛПР отримає в якнайгіршій для себе ситуації. Ця
величина може бути рівна, наприклад, сумі витрат на виробництво
продукції при нульовій виручці від її реалізації, максимально можливим
втратам, що виникли унаслідок ухваленого рішення, і так далі Дана
величина завжди може бути оцінена і її значення завжди звичайно. Це
дозволяє привести будь-яку платіжну матрицю статистичної гри до умови
позитивності коефіцієнтів. Умову позитивності гарантує визначення
будь-якого значення виграшу як позитивної величини. Крім того,
дотримання даної умови дозволяє визначити величину додаткового виграшу
за рахунок підвищення достовірності інформації.

В процесі ухвалення рішення для визначення найбільш вигідної стратегії
ЛПР необхідно враховувати можливі стани навколишнього середовища і
визначати їх вірогідність. ЛПР складає прогноз розвитку ситуації FA,
відповідно до якого кожен стан навколишнього середовища SJA має
вірогідність pjA. Даний прогноз може реалізуватися з достовірністю uA
(під достовірністю прогнозу тут слід розуміти частку прогнозів, що
реалізувалися, від всіх раніше складених прогнозів за умови, що якщо
прогноз не реалізувався, то виграш буде рівний мінімально гарантованій
величині).

Прагнучи підвищити достовірність прогнозу, ЛПР може скористатися
послугами консультаційної служби, що має більший досвід в дослідженні
даної наочної області. Консультаційна служба складає прогноз розвитку
ситуації FB (FB > FA), відповідно до якого кожен стан навколишнього
середовища SJB має вірогідність pjB. Даний прогноз може реалізуватися з
достовірністю uB (uB > uA).

Для вирішення завдання визначення економічного ефекту прогнозу
консультаційної служби приймемо наступні три умови:

1. За відсутності якої-небудь інформації щодо величини виграшу і
вірогідності станів навколишнього середовища (u = 0) ЛПР може зробити
єдине припущення – про те, що величина виграшу при будь-якому рішенні
буде не менша A0, яке, після приведення платіжної матриці до
ненегативної форми, рівно нулю.

2. Ухвалення ЛПР прогнозу з достовірністю u гарантує йому величину
середнього виграшу відповідно до вибраної ним стратегії з вірогідністю u
і величину виграшу A0 з вірогідністю 1-u.

3.  Рішення задачі визначення ефекту прогнозу консультаційної служби має
сенс, лише якщо uB > uA.

Визначення ЛПР найбільш вигідної стратегії за прогнозом FB дозволяє
йому отримати додатковий виграш за рахунок:

1. зміни ухвалюваного рішення;

2. підвищення достовірності прогнозу.

В умовах, коли значення параметра достовірності прогнозу менше одиниці,
для визначення найбільш вигідних стратегій використовується критерій
Ходжа-Лемана.

При визначені оптимальної стратегії за критерієм Ходжа-Лемана вводиться
параметр достовірності інформації про розподіл ймовірностей станів
природи значення якого знаходиться на проміжку [0;1].

Платіжна матриця доповнюється стовпцем Wi коефіцієнти якого обчислюються
за формулою:

,

де u — параметр достовірності, Pj – ймовірність стану Sj .

.

Величина додаткового виграшу, що отримується унаслідок зміни
ухвалюваного рішення Vx, може бути визначена по формулі:

Vx = uB(Vf — Vr) ,

де Vf — величина виграшу ЛПР, отриманого при виборі найбільш вигідної
стратегії за прогнозом FB; Vr – величина виграшу, яку ЛПР фактично
отримає відповідно до прогнозу FB, якщо він вибере найбільш вигідну
стратегію за прогнозом FA.

Величина додаткового виграшу, що отримується унаслідок підвищення
достовірності прогнозу Vy, може бути визначена по формулі:

Vy = Vf(uB – uA)

Величину загального ефекту від використання інформації, що міститься в
прогнозі для ЛПР Vd можна визначити як суму додаткових виграшів
унаслідок зміни рішення і збільшення достовірності прогнозу:

Vd = Vx + Vy

Підвищення достовірності прогнозу забезпечує додатковий виграш ЛПР, який
завжди позитивний. Для виконання цієї умови необхідно, щоб всі
коефіцієнти платіжної матриці прогнозу FA і FB були ненегативними.

2.2. Сітьове планування

Мережеве подання програми (мережева модель)

Мережева модель відображає взаємозв’язки між операціями і порядок їх
виконання (відношення упорядкування або слідування). Як правило, для
представлення операції використовується стрілка (орієнтована дуга),
напрямок якої відповідає процесу реалізації програми в часі. Відношення
упорядкування між операціями задається за допомогою подій. Подія
визначається як момент часу, коли завершуються одні операції і
починаються інші. Початкова і кінцева точки будь-якої операції
описуються, таким чином, парою подій, що зазвичай називають початковою
подією і кінцевою подією. Операції, що виходять з деякої події, не
можуть початися, поки не будуть довершені всі операції, що входять у цю
подію. За прийнятою в СПУ термінологією, кожна операція відображається
орієнтованою дугою, а кожна подія — вузлом (вершиною). Довжина дуги не
повинна бути пропорційною тривалості операції, а графічне зображення дуг
не обов’язково має являти собою прямолінійний відрізок.

Рис. 6.

На рис. 6. а) наведений типовий приклад графічного зображення операції
i, j з початковою подією i і кінцевою подією j. На рис. 6. б) показаний
інший приклад, з якого видно, що для можливості початку операції (3, 4)
потрібне завершення операцій (1, 3) і (2, 3). Протікання операцій у часі
задається шляхом нумерації подій, причому номер початкової події завжди
менше номера кінцевої. Такий спосіб нумерації є особливо зручним при
виконанні обчислень на ЕОМ.

Правила побудови мережевої моделі:

Правило 1. Кожна операція в мережі представляється однією і тільки
однією дугою (стрілкою). Жодна з операцій не повинна з’являтися в моделі
двічі.

Правило 2. Жодна пара операцій не повинна визначатися однаковими
початковою і кінцевою подіями. Можливість неоднозначного визначення
операцій через події з’являється у випадку, коли допускається одночасне
виконання двох або більшої кількості операцій. Приклад цього випадку
приведений на рис. 7. а) де операції А і В мають однакові початкову і
кінцеву події. Щоб виключити таку «помилку», між А и кінцевою
(початковою) подією або між В и кінцевою (початковою) подією, уводиться
фіктивна операція. Рис. 7. б) ілюструє різні варіанти введення такої
фіктивної операції D. У результаті операції А і В визначаються тепер
однозначно парою подій, що відрізняються або номером початкової, або
номером кінцевої події. Варто звернути увагу на те, що фіктивні операції
не потребують витрат ані часу, ані ресурсів.

Рис. 7.

Фіктивні операції дозволяють також правильно відображати логічні
зв’язки, які без їхньої допомоги не можна задати на мережі. Припустимо,
що в деякій програмі операції А і В повинні безпосередньо передувати С,
а операції Е безпосередньо передує тільки В. На рис. 8. а) ці умови
відбиті невірно, тому що, хоча упорядкування між А, В і С показані
правильно, з цього фрагмента випливає, що операції Е повинні
безпосередньо передувати обидві операції А і В. Правильне відбиття
зазначених умов дає фрагмент, зображений на рис. 8. б) у якому
використовується фіктивна операція D.

Рис. 8.

Оскільки на операцію D не витрачаються ані час, ані ресурси, задані
відношення упорядкування виконуються.

Правило 3. При включенні кожної операції в мережеву модель для
забезпечення правильного упорядкування необхідно дати відповіді на
наступні запитання:

а) які операції необхідно завершити безпосередньо перед початком
розглянутої операції?

б) які операції повинні безпосередньо розпочинатись після завершення
даної операції?

в) які операції можуть виконуватися одночасно з розглянутою?

Це правило не вимагає пояснень. Воно дозволяє перевіряти відносини
упорядкування в процесі побудови мережі.

2.2.2. Розрахунок мережевої моделі

Застосування методів СПУ в кінцевому рахунку повинно забезпечити
одержання календарного плану, що визначає терміни початку і закінчення
кожної операції. Унаслідок взаємозв’язків між різними операціями для
визначення термінів їх початку і закінчення необхідно проведення
спеціальних розрахунків. Ці розрахунки можна виконувати безпосередньо на
мережі, користуючись простими правилами. У результаті обчислень
визначаються критичні і некритичні операції програми. Операція
вважається критичною, якщо затримка її початку призводить до збільшення
терміну виконання всієї програми. Некритична операція відрізняється тим,
що проміжок часу між її раннім початком і пізнім закінченням (у рамках
розглянутої програми) більше її фактичної тривалості. У такому випадку
говорять, що некритична операція має резерв, або запас, часу.

2.2.3. Визначення критичного шляху

Критичний шлях визначає безперервну послідовність критичних операцій, що
зв’язують вихідне і завершальну події мережі. Іншими словами, критичний
шлях задає всі критичні операції програми. Метод визначення такого шляху
ілюструється на чисельному прикладі.

Розрахунок критичного шляху включає два етапи. Перший етап називається
прямим проходом. Обчислення починаються з вихідної події і продовжуються
доти, поки не буде досягнута завершальна подія мережі. Для кожної події
обчислюється одне число, що представляє ранній термін його настання. На
другому етапі, називаному зворотним проходом, обчислення починаються із
завершальної події мережі і продовжуються, поки не буде досягнута
вихідна подія. Для кожної події обчислюється число, що представляє
пізній термін його настання.

Зворотний прохід починається із завершуючої події мережі. При цьому
метою є визначення пізніх термінів закінчення всіх операцій, що входять
в подію.

Тепер, використовуючи результати обчислень при прямому і зворотному
проходах можна визначити операції критичного шляху. Операція (i, j)
належить критичному шляху, якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:

E(i) — ранні терміни початку всіх операцій, що виходять з події
i.

L(i) — пізні терміни закінчення всіх операцій, що входять в
подію i.

Dij — тривалість операції, сполучаючою i-тое і j- тое події.

1. E(i)=L(i)

2. E(j)=L(j)

3. E(j) -E(i)=L(j)-L(i)=Dij

Власне кажучи, ці умови означають, що між раннім терміном початку
(закінчення) і пізнім терміном початку (закінчення) критичної операції
запас часу відсутній.

2.2.4. Визначення резервів часу

При визначенні критичного шляху необхідно обчислити резерви часу для
некритичних операцій. Очевидно, що резерв часу критичної операції має
дорівнювати нулю. Тому вона й називається критичною.

,

u

‘///////////ccccccccssOOC

&

&

F

???????????e7i7o7o7

???

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

„kdc

”y«

”y«

”y«

„kdp

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

”y«

9 9O;`=F>th>Ue?o?-@zrfffff^Q

”y«

”y‹A K

”y‹A K

”y‹A K

”y‹A K

”y‹A K

JAJaeKPL¬LeL MPM?MiM4N¤N¦NONoeN>OvP3/4Q,ReR/////i///////a**IAA¶A

% e

% e

% e

% e

% e

`„?

t

t

t

ooeeeeeessOssssssOssssssssOssssossss

Перш ніж приступити до обчислення резервів часу, потрібно увести
визначення ще двох термінів, пов’язаних з кожною операцією. Це термін
пізнього початку (LS) і термін раннього закінчення (ЕС), що для
будь-якої операції (i, j) задаються співвідношеннями LSij=LCj-Dij,
ECij=ESi+Dij.

Розрізняють два основних види резервів часу: повний резерв (TF) і
вільний резерв (FF). Повний резерв часу операції (i, j) являє собою
різницю між максимальним відрізком часу, протягом якого може бути
виконана операція (LCj—ESi), і її тривалістю (Dij), тобто

TFij=LCi—ESi—Dij=LCj—ECij=LSij—ESi.

Вільний резерв часу визначається в припущенні, що всі операції в мережі
починаються в ранній термін. При цьому умові величина FFijдля операції
(i, j) являє собою перевищення припустимого відрізка часу (ESj—ESi) над
тривалістю операції (Dij), тобто FFij=ESj—ESi—Dij.

Зазначимо, що тільки критичні операції повинні мати нульовий повний
резерв часу. Коли повний резерв дорівнює нулю, вільний резерв також
повинний бути рівним нулю. Однак зворотне невірно, оскільки вільний
резерв некритичної операції також може бути нульовим.

2.2.5. Побудова календарного графіка і розподіл ресурсів

Кінцевим результатом виконуваних на мережевій моделі розрахунків є
календарний графік (план). Цей графік легко перетвориться в реальну
шкалу часу, зручну для реалізації процесу виконання програми.

При побудові календарного графіка необхідно враховувати наявність
ресурсів, тому що одночасне (паралельне) виконання деяких операцій через
обмеження, пов’язані з робочою силою, устаткуванням і іншими видами
ресурсів, може виявитися неможливим. Саме в цьому відношенні становлять
цінність повні резерви часу некритичних операцій. Зрушуючи некритичну
операцію в тому або іншому напрямку, але в межах її повного резерву
часу, можна домогтися зниження максимальної потреби в ресурсах. Однак
навіть при відсутності обмежень на ресурси повні резерви часу зазвичай
використовуються для вирівнювання потреби в ресурсах протягом усього
терміну реалізації програми. Власне кажучи, це означає, що програму
вдається виконати більш-менш постійним складом робочої сили в порівнянні
з випадком, коли потреби в робочій силі (і інших ресурсах) різко
змінюються при переході від одного інтервалу часу до іншого.

Для побудови календарного графіка перш за все визначаються календарні
терміни виконання критичних операцій. Далі розглядаються некритичні
операція і вказуються їхні ранні терміни початку ES і пізні терміни
закінчення LC. Критичні операції зображаються суцільними лініями.
Відрізки часу, в межах яких можуть виконуватися некритичні
операції, наносяться пунктирними лініями, що показують, що
календарні терміни цих операцій можна вибрати у вказаних межах
за умови збереження відносин проходження. Фіктивна операція не
вимагає витрат часу і тому зображається на графіці вертикальним
відрізком. Числа, проставлені над некритичними операціями,
відповідають їх тривалості.

Роль повних і вільних резервів часу при виборі календарних термінів
виконання некритичних операцій пояснюється двома загальними правилами.

1. Якщо повний резерв дорівнює вільному, то календарні терміни
некритичної операції можна вибрати в будь-якій точці між її раннім
початком і пізнім закінченням.

2. Якщо вільний резерв менший повного, то термін початку некритичної
операції можна перенести відносно її раннього терміну початку не більше,
ніж на величину вільного резерву, не впливаючи при цьому на вибір
календарних термінів безпосередньо наступних операцій.

3. Якщо вільний резерв часу операції більше повного, то це служить
ознакою того, що остаточні календарні терміни такої операції не можна
фіксувати, не прослідкувавши спочатку, як це вплине на терміни
почала безпосередньо наступних операцій. Таку цінну інформацію можна
отримати на основі розрахунків мережевої моделі.

Таким чином, якщо вільний резерв часу операції є меншим повного, це
служить ознакою того, що остаточні календарні терміни такої операції не
можна фіксувати, не перевіривши спочатку, як це вплине на терміни
початку безпосередньо наступних операцій. Настільки цінну інформацію
можна одержати тільки на основі розрахунків мережевої моделі.

При реалізації деяких програм може ставитися мета не просто забезпечення
рівномірного використання, ресурсів, а обмеження максимальної потреби в
них до певної межі. Якщо цієї мети не вдається досягти шляхом
перепланування календарних термінів некритичних операцій, то для того,
щоб знизити потребу в ресурсах, приходиться збільшувати тривалість
деяких критичних операцій.

Через математичні труднощі поки що не розроблено метод, який
забезпечував би оптимальне вирішення задачі рівномірного використання
ресурсів, тобто задачі мінімізації максимальної потреби в ресурсах у
будь-який момент процесу виконання програми.

2.2.6. Імовірнісні фактори, що враховуються при календарному плануванні
програм

При календарному плануванні програм невизначеність (імовірнісний
характер процесу реалізації програми) враховується за через уведення
трьох різних оцінок тривалості кожної операції:

а — оптимістична (мінімальна) оцінка, що відповідає найбільш сприятливим
умовам виконання операції;

b — песимістична (максимальна) оцінка, що відповідає найбільш
несприятливим умовам виконання операції;

т — найбільш ймовірна (нормальна) оцінка, що характеризує усереднені
умови виконання операції.

Передбачається, що в інтервалі між оптимістичною (а) і песимістичною (b)
оцінками знаходяться всі можливі значення тривалості операції. Найбільш
ймовірна оцінка m не обов’язково збігається із середньою точкою відрізку
(а+b)/2 і може лежати праворуч або ліворуч від неї. Завдяки таким
властивостям інтуїтивно виправдується припущення про те, що тривалість
кожної операції підпорядковується бета-розподілу з модою в точці т і
кінцями в точках а і b. На рис. 9 показані три випадки бета-розподілу:
симетричний, асиметричний вправо, асиметричний вліво.

Рис. 9.

Вирази для математичного сподівання ?E(Dij) і дисперсії V бета-розподілу
виводяться в такий спосіб: робиться припущення, що вага середньої точки
(а+b)/2 є вдвічі меншою ваги найбільш імовірної точки m. Таким чином,
величина ?D являє собою середнє арифметичне величин (а+b)/2 і 2m, тобто

Розмах (a, b) приймається рівним біля шести середніх квадратичних
відхилень розподілу, тому що 90% або більше будь-якої щільності
імовірності лежить у межах трьох середніх квадратичних відхилень від
математичного сподівання. Таким чином, Var(Dij)

V=[(b-a)/6]2

Розрахунки мережі, наведені в п.3, можна безпосередньо використовувати,
замінивши одну оцінку тривалості D величиною ?D.

Тепер можна оцінити імовірність настання кожної події мережі. Нехай ?i
означає ранній термін події i. Оскільки тривалості операцій, що ведуть
до події i, є випадковими величинами, ?iтакож випадкова величина.
Припускаючи, що всі операції мережі статистично незалежні, одержуємо
математичне сподівання і дисперсію ?iв такий спосіб. Якщо подія i
зв’язана з вихідною подією мережі лише одним шляхом» то E{?i}
визначається сумою очікуваних тривалостей ?D операцій, що належать цьому
шляхові, a var{?i} являє собою суму дисперсій тих самих операцій. Однак
задача ускладнюється, якщо в подію входить більш одного шляху. У цьому
випадку, коли потрібно обчислити точні значення E{?i} і var{?i},
необхідно спочатку знайти статистичний розподіл найбільш довгого шляху,
що веде в розглянуту подію (тобто розподіл максимальної з декількох
випадкових величин), а потім визначити його математичне сподівання і
дисперсію. Ця задача в загальному вигляді досить складна, у зв’язку з
чим уводиться спрощуюче припущення, що дозволяє обчислювати E{?i}} і
var{?i}}, шляху, що входить у подію і,, для якого сума очікуваних
тривалостей операцій є максимальною. Якщо ж у двох або більше шляхів
значення E{?i} збігаються, то вибирається шлях з максимальним значенням
var{?i}, тому що він характеризується більшою невизначеністю, а отже,
дає більш надійний результат. Таким чином, для обраного шляху значення
E{?i} і var{?i} визначаються співвідношеннями

E{?i}=ESi, var{?i}=?Vk ,

де k означає операції, що належать самому довгому шляху, що веде в подію
i.

При цьому передбачається, що величина ?i є сумою незалежних випадкових
величин, і, отже, у відповідності з центральною граничною теоремою,
розподіл ?i є близьким до нормального з математичним сподіванням E{?i} і
дисперсією var{?i}. Оскільки ?i є раннім терміном настання події i, то
ця подія наступить у директивний термін STi(обумовлений особою, що
приймає рішення) з імовірністю:

де z — нормована нормально розподілена випадкова величина з нульовим
математичним сподіванням і одиничною дисперсією і

Як правило, обчислюють імовірність того, що подія i наступить не пізніше
LCi. Це імовірність того, що наступні події настануть в інтервалі (ESj
;LCj), тобто в межах їх ранніх і пізніх термінів.

Після обчислення Е{?i} і var {?i} безпосередньо визначаються величини
Kiі {z? Ki}. Далі можна легко обчислити імовірності настання кожної
події. Ці імовірності містять інформацію про те, для яких операцій
потрібно насамперед забезпечити ресурси, щоб зменшити імовірність
затримок виконання програми.

3. Розрахункова частина

Номер варіанту завдань № 9 (N=9). Розрахунки в завданні 1 і завданні 2
виконуємо за допомогою пограми Microsoft Excel.

3.1. Завдання 1

Два підприємства проводять продукцію і поставляють її на ринок регіону.
Вони є єдиними постачальниками продукції в регіон, тому повністю
визначають ринок даної продукції в регіоні.

Кожне з підприємств має можливість проводити продукцію із застосуванням
однієї з трьох різних технологій. Залежно від якості продукції,
проведеної за кожною технологією, підприємства можуть встановити ціну
одиниці продукції на рівні 10, 6 і 2 грошових одиниць відповідно. При
цьому підприємства мають різні витрати на виробництво одиниці продукції.
(табл. 1.).

Таблиця 1. Витрати на одиницю продукції, виготовленої на підприємствах
регіону (гр.од.).

Тенологія Ціна реалізації одиниці продукції, гр. од. Повна собівартість
одиниці продукції, гр. од.

Підприємство 1 Підприємство 2

I 10 5 8

II 8 3,1 6

III 6 3,9 2,2

IV 4 2 2

V 2 0,6 1,9

В результаті маркетингового дослідження ринку продукції регіону була
визначена функція попиту на продукцію:

Y = 8 – (0.3+0,1((9-1)) (X = 8 — 1,1?Х

де Y – кількість продукції, яку придбає населення регіону (тис. од.), а
X – середня ціна продукції підприємств, гр.од.

Значення часток продукції підприємства 1, придбаної населенням, залежать
від співвідношення цін на продукцію підприємства 1 і підприємства 2. В
результаті маркетингового дослідження ця залежність встановлена і
значення обчислені (табл. 2).

Таблиця 2. Частка продукції підприємства 1, що купується населенням
залежно від співвідношення цін на продукцію

Ціна реалізації одиниці продукції, гр.од. Частка продукції

Підпр. 1 Підпр. 2

10 10 1,11

10 8 0,33

10 6 0,25

10 4 0,2

10 2 0,18

8 10 0,4

8 8 0,35

8 6 0,32

8 4 0,28

8 2 0,25

6 10 0,52

6 8 0,48

6 6 0,4

6 4 0,35

6 2 0,12

4 10 0,6

4 8 0,58

4 6 1

4 4 0,5

4 2 0,4

2 10 0,9

2 8 0,85

2 6 0,7

2 4 0,65

2 2 0,4

По умові завдання на ринку регіону діє тільки 2 підприємства. Тому
частку продукції другого підприємства, придбаної населенням, залежно від
співвідношення цін на продукцію можна визначити як одиниця мінус частка
першого підприємства.

Стратегіями підприємств в даному завданні є їх рішення щодо технологій
виробництва продукції. Ці рішення визначають собівартість і ціну
реалізації одиниці продукції. У завданні необхідно визначити:

1. Чи існує в даному завданні ситуація рівноваги при виборі технологій
виробництва продукції обома підприємствами?

2. Чи існують технології, які підприємства свідомо не вибиратимуть
внаслідок невигідності?

3. Скільки продукції буде реалізовано в ситуації рівноваги? Яке
підприємство опиниться у виграшному положенні?

Розв’язання.

Розглянемо приклад вирішення матричної гри в чистих стратегіях, в умовах
реальної економіки, в ситуації боротьби двох підприємств за ринок
продукції регіону.

Дані про попит на продукцію залежно від цін реалізації приведені в табл.
3.

Таблиця 3. Попит на продукцію в регіоні, тис. од.

Ціна реалізації одиниці продукції, гр.од. Частка продукції Середня ціна
реалізації одиниці продукції, д.о Попит на продукцію, тис.од.

Підпр. 1 Підпр. 2

10 10 1,11 10 -3

10 8 0,33 9 -1,9

10 6 0,25 8 -0,8

10 4 0,2 7 0,3

10 2 0,18 6 1,4

8 10 0,4 9 -1,9

8 8 0,35 8 -0,8

8 6 0,32 7 0,3

8 4 0,28 6 1,4

8 2 0,25 5 2,5

6 10 0,52 8 -0,8

6 8 0,48 7 0,3

6 6 0,4 6 1,4

6 4 0,35 5 2,5

6 2 0,12 4 3,6

4 10 0,6 7 0,3

4 8 0,58 6 1,4

4 6 1 5 2,5

4 4 0,5 4 3,6

4 2 0,4 3 4,7

2 10 0,9 6 1,4

2 8 0,85 5 2,5

2 6 0,7 4 3,6

2 4 0,65 3 4,7

2 2 0,4 2 5,8

1. Визначимо економічний сенс коефіцієнтів виграшів в платіжній матриці
завдання. Кожне підприємство прагне до максимізації прибули від
виробництва продукції. Але крім того, в даному випадку підприємства
ведуть боротьбу за ринок продукції в регіоні. При цьому виграш одного
підприємства означає програш іншого. Таке завдання може бути зведена до
матричної гри з нульовою сумою. При цьому коефіцієнтами виграшів будуть
значення різниці прибутку підприємства 1 і підприємства 2 від
виробництва продукції. У випадку, якщо ця різниця позитивна, виграє
підприємство 1, а у випадку, якщо вона негативна – підприємство 2.

2. Розрахуємо коефіцієнти виграшів платіжної матриці. Для цього
необхідно визначити значення прибутку підприємства 1 і підприємства 2
від виробництва продукції. Прибуток підприємства в даному завданні
залежить:

— від ціни і собівартості продукції;

— від кількості продукції, що набуває населенням регіону;

— від частки продукції, придбаної населенням у підприємства.

Таким чином, значення різниці прибутки підприємств, відповідні
коефіцієнтам платіжної матриці, необхідно визначити по формулі (1):

D = p((SR1-SC1) (– (1-p) ((SR2-SC2) (1)

де D – значення різниці прибули від виробництва продукції підприємства 1
і підприємства 2;

p — частка продукції підприємства 1, що набуває населенням регіону;

S – кількість продукції, що набуває населенням регіону;

R1 і R2 — ціни реалізації одиниці продукції підприємствами 1 і 2;

C1 і C2 – повна собівартість одиниці продукції, проведеної на
підприємствах 1 і 2.

Обчислимо один з коефіцієнтів платіжної матриці.

Хай, наприклад, підприємство 1 ухвалює рішення про виробництво
продукції відповідно до технології III, а підприємство 2 – відповідно до
технології II. Тоді ціна реалізації одиниці продукції для підприємства 1
складе 6 д.о. при собівартості одиниці. продукції 3,9 д.о. Для
підприємства 2 ціна реалізації одиниці. продукції складе 8 д.о. при
собівартості 6 д.о. (табл. 1).

Кількість продукції, яку населення регіону придбає при середній ціні 7
д.о., рівні 0,3 тис. ед. (таблиця 3). Частка продукції, яку населення
придбає у підприємства 1, складе 0,48, а у підприємства 2 – 0,52 (табл.
2). Обчислимо коефіцієнт платіжної матриці a32 за формулою (1):

a32 = 0,48((0,3(6-0,3(3,9) – 0,52((0,3(8-0,3(6)= -0,0096 тис. ед.

де i=3 – номер технології першого підприємства, а j=2 – номер технології
другого підприємства.

Аналогічно обчислимо всі коефіцієнти платіжної матриці. У платіжній
матриці стратегії A1 – A5 – є рішення про технології виробництва
продукції підприємством 1, стратегії B1 – B5 – рішення про технології
виробництва продукції підприємством 2, коефіцієнти виграшів – різницю
прибутку підприємства 1 і підприємства 2.

B1 B2 B3 B4 B5 MIN j

A1 -17,31 -1,444 -0,1056 0,12 1,484 -17,31

A2 -0,589 -0,332 -0,0096 0,448 2,225 -0,589

A3 1,28 -0,3048 -2,016 5 -0,576 -2,016

A4 -0,18 -0,0952 -1,4125 0 0,987 -1,4125

A5 1,1452 2,875 0,5904 3,478 2,9 0,5904

MAX i 1,28 2,875 0,5904 5 2,9

Рис. 1. Платіжна матриця в грі «Боротьба двох підприємств за ринок
продукції регіону».

У даній матриці немає ні домінуючих, ні дублюючих стратегій. Це означає,
що для обох підприємств немає свідомо невигідних технологій виробництва
продукції. Визначимо мінімальні елементи рядків матриці. Для
підприємства 1 кожен з цих елементів має значення мінімально
гарантованого виграшу при виборі відповідної стратегії. Мінімальні
елементи матриці по рядках мають значення: -17,31; -0,589; -2,0164;
-1,412544; 0,5904.

Визначимо максимальні елементи стовпців матриці. Для підприємства 2
кожен з цих елементів також має значення мінімально гарантованого
виграшу при виборі відповідної стратегії. Максимальні елементи матриці
по стовпцях мають значення: 1,28; 2,875; 0,5904; 5; 2,9.

Нижня ціна гри в матриці рівна 0,5904. Верхня ціна гри також рівна
0,5904. Таким чином, нижня і верхня ціна гри в матриці співпадають. Це
означає, що є технологія виробництва продукції, яка є оптимальною для
обох підприємств в умовах даного завдання. Це технологія V, яка
відповідає стратегії A5 підприємства 1 і технологія III,яка відповідає
стратегії B3 підприємства 2. Стратегії A5 і B3 – чисті оптимальні
стратегії в даному завданні.

Значення різниці прибутку підприємства 1 і підприємства 2 при виборі
чистої оптимальної стратегії позитивно. Це означає, що підприємство 1
виграє в даній грі. Виграш підприємства 1 складе 0,5904 тис. д.о. При
цьому на ринку буде реалізовано 5,8 тис. ед. продукції (реалізація рівна
попиту на продукцію, таблиця 3). Обидва підприємства встановлять ціну за
одиницю продукції в 2 д.о. При цьому для першого підприємства повна
собівартість одиниці продукції складе 0,6 д.о., а для другого – 1,9 д.е
(таблиця 1). Підприємство 1 опиниться у виграші лише за рахунок високої
частки продукції, яку придбає у нього населення.

3.2. Завдання 2

Необхідно визначити:

1. Найбільш вигідну стратегію і величину виграшу за прогнозом
підприємства і консультаційної служби;

2. Величину додаткового виграшу підприємства від зміни ухвалюваного
рішення при переході до достовірнішого прогнозу;

3. Величину додаткового виграшу підприємства за рахунок підвищення
достовірності прогнозу;

4. Значення загального ефекту від застосування прогнозу консультаційної
служби;

5. Дати економічну інтерпретацію результатів рішення.

  S1 S2 S3

Pj 0,3 0,4 0,3

A1 30 20,5 31

A2 25,8 40 33

A3 19,5 49 62,7

Рис. 1. Платіжна матриця завдання за прогнозом підприємства

  S1 S2 S3

Pj 0,18 0,5 0,32

A1 30 26 21,1

A2 21,8 40 33

A3 15,9 44,5 64

Рис. 2. Платіжна матриця завдання за прогнозом консультаційної служби

Визначите, чи доцільно господарству працювати з даною консультаційною
службою в майбутньому, якщо консультаційна служба продала даний прогноз
підприємству за 904,5 тис. гр.од.

Розв’язання.

Нехай достовірність прогнозу самого підприємства про величину виграшу
(рис. 1.) складає uA=0,6.

Для отримання більш перевіреної інформації господарство звертається в
консультаційну службу. На основі використання більшої кількості
інформації і проведення більш систематичних і різносторонніх досліджень
консультаційна служба складає прогноз ситуації виграшу для підприємства.
Достовірність цього прогнозу (рис. 2.) рівна uB=0,8.

1. Складемо платіжні матриці для визначення найбільш вигідної стратегії
підприємства за власним прогнозом (рис. 1.) і за прогнозом
консультаційної служби (рис. 2.). При рішенні задачі необхідне виконання
умови позитивності коефіцієнтів платіжної матриці. Тому як коефіцієнти
для обох платіжних матриць будуть використані значення виграшу.

2. Визначимо найбільш вигідну стратегію підприємства за його власним
прогнозом (uА= 0,6). Оскільки при рішенні задачі ЛПР керується не цілком
достовірною інформацією, визначення найбільш вигідних стратегій
проводитиметься по критерію Ходжа-Лемана (рис. 3.).

  S1 S2 S3 MINj aij Мат. сподів. Wi

Pj 0,3 0,4 0,3      

A1 30 20,5 31 20,5 26,5 24,1

A2 25,8 40 33 25,8 33,64 30,504

A3 19,5 49 62,7 19,5 44,26 34,356

Рис. 3. Визначення найбільш вигідної стратегії підприємства за власним
прогнозом

MINj aij — мінімальне значення виграшу при виборі aij стратегії;

Мат. сподів. — значення математичного очікування виграшу при виборі aij
стратегії;

Wi — значення виграшу по критерію Ходжа-Лемана.

Найбільш вигідною стратегією за прогнозом підприємства є стратегія A3.
Значення виграшу підприємства при виборі даної стратегії складе 34,356
тис. д.о.

3. Визначимо найбільш вигідну стратегію підприємства і значення виграшу
за прогнозом консультаційної служби (рис. 4.).

  S1 S2 S3 MINj aij Мат. сподів. Wi

Pj 0,18 0,5 0,32      

A1 30 26 21,1 21,1 25,152 24,3416

A2 21,8 40 33 21,8 34,484 31,9472

A3 15,9 44,5 64 15,9 45,592 39,6536

Рис. 4. Визначення найбільш вигідної стратегії підприємства за прогнозом
консультаційної служби

Згідно прогнозу консультаційної служби найбільш вигідною стратегією
підприємства є стратегія A3. Значення виграшу підприємства при виборі
даної стратегії складе 39,6536 тис. д.о.

4. Визначимо додатковий виграш підприємства за рахунок зміни рішення.
Якби підприємство використовувало дані тільки власного прогнозу, то воно
вибрало б стратегію A3. При цьому його виграш, згідно точнішому прогнозу
консультаційної служби, складає 39,6536 тис. д.о. Проте при використанні
прогнозу консультаційної служби підприємство отримує більше значення
виграшу за рахунок зміни рішення і переходу до стратегії A3.

Виграш підприємства за власним погнозом складає Vr = 34,356 тис. д.о. ,
а виграш за погнозом консультаційної служби, складає Vf = 39,6536 тис.
д.о. Таким чином, додатковий виграш за рахунок зміни вирішення Vx при
достовірності прогнозу консультаційної служби uB = 0,8 складе: Vx =
0,8((39,6536 — 34,356 ) = 5,2976 тис. д.о.

5. Визначимо значення додаткового виграшу за рахунок підвищення
достовірності прогнозу. Достовірність прогнозу консультаційної служби
рівна uB = 0,8 , а прогнозу підприємства — uA = 0,6. Тому значення
додаткового виграшу за рахунок підвищення достовірності прогнозу Vy
рівне: Vy = 39,6536 ((0,8-0,6)= 7,9272 тис. д.о.

6. Визначимо значення загального ефекту від застосування прогнозу
консультаційної служби: Vd = 5,2976 +7,9272 = 13,2248 тис. д.о.

7. Дамо економічну інтерпретацію результатів рішення задачі.

При використанні прогнозу консультаційної служби підприємство не змінює
свою стратегію. За рахунок зміни рішення господарство отримує додатковий
виграш в об’ємі 5,2976 тис. д.о. Крім того, підприємство отримує
додатковий виграш, обумовлений підвищенням достовірності прогнозу. При
використанні даних прогнозу консультаційної служби цей додатковий виграш
складає 7,9272 тис. д.о. Цей виграш показує величину додаткового виграшу
від реалізації продукції, що отримується підприємством при використанні
прогнозу консультаційної служби, в порівнянні з використанням того ж
прогнозу з достовірністю на рівні прогнозу господарства.

Фахівці господарства можуть вважати ціну прогнозу економічно
обгрунтованою, якщо консультаційна служба продасть прогноз менш, ніж за
13,2248 тис. д.о. Це значення буде розраховано вже після придбання
прогнозу. Проте, використовуючи даний метод визначення ефекту прогнозу,
підприємство зможе обгрунтувати доцільність подальшого придбання
прогнозів консультаційної служби по пропонованих нею цінах.

Господарству не доцільно працювати з даною консультаційною службою в
майбутньому, якщо консультаційна служба продала даний прогноз
підприємству за 904,5 тис. гр.од., оскільки величина загального ефекту
від використання інформації, яка міститься в прогнозі для ОПР складає
13,2248 тис. д.о.

3.3. Завдання 3

1. Побудувати сітьовий граф програми, заданої послідовністю операцій,
представленою в таблиці з вихідними даними Вашого варіанту.

2. Обчислити математичні очікування Е(Dіj) тривалостей операцій по трьох
заданих оцінках тривалостей a, b, m.

3. Обчислити дисперсії Var(Dij) тривалостей операцій.

4. Оцінити ранні ESj та пізні LCi терміни настання подій в мережі.
Визначити критичний шлях.

5. Оцінити ймовірності настання всіх подій у мережі не пізніше
директивного терміну (як директивний термін прийняти пізній термін
настання події).

6. Побудувати календарний графік виконання програми.

Умовні позначки, прийняті у варіанті завдання

Номерація стовпців відповідає:

1 – найменування операції;

2 – попередні операції;

3 – оптимістичний термін виконання операції (a);

4 – песимістичний термін (b);

5 – найбільш ймовірний термін (m);

6 – вартість виконання операції в “нормальному” режимі;

1 2 3 4 5 6

A — 22 28 24 520

B — 17 25 20 310

C — 24 30 26 490

D A 12 20 14 250

E A 28 35 30 120

F A, B, C 21 30 25 830

G C 23 31 26 480

H D 17 26 20 310

J H, E, F, G 25 32 28 630

K D 13 20 15 470

L H, E, F, G 21 29 23 320

M K, L 18 23 20 210

N K, L 23 29 25 420

O M 26 35 29 190

P J 22 30 26 330

Q N, O, P 31 39 34 170

R D 25 34 28 240

S K, L 16 21 17 380

T N, O, P 21 26 22 560

U T 24 32 25 360

V N, O, P 27 38 33 390

W U 15 24 19 210

X Q, S, R 25 34 29 370

Розв’язання.

1 2 3 4 5 6

Ранг Вершина

A — 22 28 24 520 24

0 V1

B — 17 25 20 310 20

1 V2,V4

C — 24 30 26 490 26

2 V3,V5

D A 12 20 14 250 15

3 V6

E A 28 35 30 120 31

4 V7,V8

F A, B, C 21 30 25 830 25

5 V9

G C 23 31 26 480 26

6 V10

H D 17 26 20 310 21

7 V11,V12

J H, E, F, G 25 32 28 630 28

8 V13

K D 13 20 15 470 16

9 V14

L H, E, F, G 21 29 23 320 24

M K, L 18 23 20 210 20

N K, L 23 29 25 420 25

O M 26 35 29 190 30

P J 22 30 26 330 26

Q N, O, P 31 39 34 170 34

R D 25 34 28 240 29

S K, L 16 21 17 380 18

T N, O, P 21 26 22 560 23

U T 24 32 25 360 26

V N, O, P 27 38 33 390 33

W U 15 24 19 210 19

X Q, S, R 25 34 29 370 29

Вершина V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14

N 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Критичні шляхи:

0-1-4-6-8-9-13

0-1-4-5-6-9-11-12-13

0-1-4-5-6-8-9-11-12-13

0-1-5-6-8-9-13

0-1-5-6-9-13

0-1-5-6-9-11-12-13

0-1-4-5-6-9-13

0-1-4-5-6-8-9-13

Висновки

В даній розрахунково курсовій роботі було розраховано технологічний
процес визначення оптимальних змішаних стратегій підприємств і визначено
оптимальні стратегії. Ці розрахунки можуть бути використані для
виробництва продукції підприємствами та їх рентабельного функціонування.

Розробивши математичний апарат визначення оптимальних змішаних
стратегій знайдено оптимальні змішані стратегії діяльності як по виду
продукту, так і на одиницю продукту. На основі цих розрахунків вибрано
підприємство, для якого знайдено оптимальні змішані стратегії діяльності
по видах продукції.

Дана робота дає можливість досить просто та ефективно спрогнозувати
оптимальні стратегії діяльності підприємства при мінімальних втратах
із-за невизначеності ринкового середовища.

Список використаної літератури:

Зайченко Ю.П. Исследование операций. – К.: Слово, 2003. – 688 с.

Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Нове направления в линейном программировании и
ёё приложение. – М.: Наука, 1966. – 351 с.

Давыдов Э.Г. Исследование операций. – М.: Высш. шк., 1990. – 383 с.

Лэдсон Л. Оптимизация большых систем. – М.: Наука, 1975. – 431 с.

5. Цукров В.И. Декомпозиционные методы решения задач большой
размерности. – М.: Наука, 1981.

PAGE

PAGE 38

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *