Вільні коливання системи з одним ступенем свободи без тертя
У більшості пружних систем при досить малих переміщеннях сила пружності
лінійно залежить від переміщення x. Якщо початок відліку зсуву x вибрати
так, що при x=0: F=0, то для лінійної системи F = cx, де с – коефіцієнт
жорсткості системи.
Диференціальне рівняння руху системи з одним ступенем свободи (мал.11,а)
має вигляд
.
(4)
Вид диференціального рівняння не змінюється при дії на систему постійних
сил (наприклад, сил ваги), якщо зсув тіла відраховувати від положення
його статичної рівноваги.
Мал. 11
Дійсно, рівняння руху тіла масою m (мал.11,а), що знаходиться під дією
сили ваги і зазнає вільних коливань, має вид
,
(5)
– подовження пружини від сили ваги вантажу.
Отже, додатки mg і cfст у рівнянні (5) взаємно знищуються, і рівняння
(5) збігається з (4).
Рівняння руху одномасової системи, що робить крутильні вільні коливання
(мал.11,б), записується аналогічно:
,
– кут повороту тіла; J – момент інерції маси m щодо подовжньої осі валу;
с – крутильна жорсткість пружного зв’язку.
Рішення рівняння (4) має вид
,
(6)
– кутова частота коливань, або власна частота; С1 і С2- постійні
інтегрування, обумовлені з початкових умов.
відповідно, після підстановки в (6) знаходимо
.
(7)
Вираження (6) можна записати інакше:
,
(8)
,
.
(мал.12).
визначається з умови:
,
звідки
.
(9)
Число коливань в одиницю часу (технічна частота, що вимірюється в
герцах):
.
(10)
Мал. 12
.
При цьому справедливі формули:
.
(11)
Оскільки розмір fст введений у формулі (11) формально, то очевидна їхня
справедливість незалежно від того, збігається або не збігається напрямок
сили ваги з напрямком руху вантажу.
Для аналізу вільних коливань зручно використовувати зображення закону
руху системи на фазовій площині, або так званий фазовий “портрет”.
Фазовим портретом руху називається графічне зображення залежності
швидкості руху від зсуву. Для одержання фазового портрета
продиференціюємо вираз (8) по t:
.
(12)
, одержимо:
.
(13)
(мал. 13,а). Верхня напівплощина відповідає зростанню зсуву, нижня –
убуванню. Розміри еліпса залежать від початкових умов, що визначають
амплітуду коливань А.
Мал. 13
Всі можливі вільні коливання одномасової системи зображуються сімейством
еліпсів, кожний із яких відповідає визначеному рівню енергії. Чим більша
амплітуда коливань А, тим більш повна енергія системи. Якщо значення
енергії відкладати по осі, що перпендикулярна кресленню, то утвориться
поверхня (параболоїд), нижня точка якої відповідає нульовому
енергетичному рівню. Точка, що зображує значення зсуву і швидкості в
даний момент часу (зображуюча точка), переміщається по горизонталі цієї
поверхні.
.
При наявності розсіювання енергії зображуюча точка переміщається по
спіралі, наближаючись до початку координат.
Приклади розрахунків
Приклад 1. До циліндричної пружини підвішений вантаж масою
O
U
*
,
.
0
@
‚
„
U
,
0
@
??
j
.
Рішення.
Жорсткість пружини:
.
Частота власних коливань без обліку маси пружини :
.
Приведена маса пружини:
Частота власних коливань з обліком маси пружини:
.
= 1 м. Власною вагою балки зневажити.
Рішення.
Статичний прогин балки від ваги зосередженого вантажу
.
Частота власних коливань
.
Період коливань
.
Технічна частота
.
= 1 м, діаметр d = 2см. Визначити частоту і період власних вертикальних
коливань системи без обліку і з обліком маси стрижня.
Рішення.
Жорсткість стрижня
.
Частота власних коливань без обліку маси стрижня
.
Відповідний період коливань
.
Приведена маса стрижня
.
Власна частота коливань з обліком маси стрижня
.
Відповідний період коливань
.
Приклад 4.
= 0,8 м.
Мал. 14
Рішення.
Диференціальне рівняння вільних коливань такої системи має вид
,
– власна частота коливань.
Моменти інерції мас дисків
;
.
Полярний момент інерції поперечного перетину вала
.
Коефіцієнт жорсткості вала при крутінні
.
Власна частота крутильних коливань
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
