Вигин консолі силою, прикладеною на кінці
Задачу будемо вирішувати зворотним методом в напруженнях. Схема балки
зображена на рис. 3.5. Задамося напруженнями, одержуваними методами
опору матеріалів, і перевіримо, чи задовольняють вони основним
рівнянням плоскої задачі теорії пружності і чи відповідають заданому
навантаженню.
Рис. 3.5. Розрахункова схема консолі
В опорі матеріалів для поперечного згину маємо наступну систему
напруженьг:
(а)
Підраховуємо вхідні сюди величини:
згинальний момент
поперечна сила
статичний момент площі відсіченої частини перерізу щодо нейтральної осі
момент інерції площі перерізу щодо нейтральної осі
.
Підставляючи ці величини в рівняння (а), одержуємо
(3.23)
Власною вагою балки зневажаємо. Тоді при підстановці напружень (3.23) у
рівняння рівноваги (3.2) і рівняння нерозривності деформацій (3.9)
переконуємося, що вони обертаються в тотожності. Таким чином, напруження
(3.23) задовольняють основним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Переходимо до розгляду умов на контурі. На верхній і нижній гранях балки
ніяких навантажень нема, тому повинна виконуватися наступна умова:
.
Підставляючи сюди напруження з (3.23), переконуємося, що умова дійсно
виконується.
Скориставшись знову значеннями напружень (3.23), знаходимо, що умови на
торці теж виконуються.
|
~
?
‚
?
?
?
O
O
oe
o
u
ue
~
‚
?
< >
B
D
?
?
¬
®
?
1/4
3/4
??W????????????H?H????? вирази напружень будуть іншими, але на підставі
принципу Сен-Венана значна різниця буде тільки поблизу торця.
Для повного рішення задачі обчислимо деформації і переміщення. По
формулах закону Гука для плоскої задачі (3.8) після підстановки в них
напружень (3.23) знаходимо:
Відповідно до формул (3.4),
(б)
(в)
Інтегруючи рівняння (б), знаходимо
(г)
де й — довільні функції.
Підставляючи переміщення (г) у рівняння (в), маємо
або після скорочення й приведення подібних членів
(д)
Отримана рівність може існувати при довільних значеннях і тільки в
тому випадку, якщо вираз, що коштє у квадратних дужках, постійні:
(е)
Крім того, з рівняння (д) випливає наступна залежність між постійними:
(ж)
Інтегруючи рівняння (е), знаходимо:
Підставляючи отримані функції у формули (г), одержимо
(з)
Для визначення довільних постійних , , і розглянемо закріплення балки.
В опорі матеріалів всі міркування відносять до осі бруса, тому
защемлення в плоскої задачі теорії пружності повинне забезпечувати
нерухомість точки й відсутність повороту осі балки навколо цієї точки,
тобто при
При цих умовах з формул (з) знаходимо
і з рівняння (ж)
Тоді формули (з) приймають вид
(3.24)
Із другого рівняння (3.24), поклавши , одержимо рівняння зігнутої осі
балки
яке збігається з рівнянням в опорі матеріалів.
Перевіримо тепер справедливість гіпотези плоских перерезів. Рівняння
довільного поперечного переріза до деформування
після деформування прийме вид
Після підстановки виразу переміщення і з формул (3.24)
Виходить, поперечний переріз не залишається плоским, а викривляється по
кубічній параболі. Отже, формула (а) для нормальних напружень , виведена
на підставі гіпотези плоских перерезів, залишається справедливою і при
скривленні перезів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter