Теорема і метод Релея
Розглянуті вище методи розрахунку стають тим більше громіздкими, чим складніша структура системи, що розраховується. Тому виникає необхідність у способах, що дозволяють досить просто розраховувати і складні системи.
Один із можливих шляхів полягає в застосуванні простих наближених формул (наприклад, формули Релея). У цьому випадку задають форму коливань системи, зводячи її в такий спосіб до системи з одним ступенем свободи. При вдалій апроксимації одержують досить точне значення нижчої власної частоти системи, однак інші її динамічні характеристики залишаються нерозкритими.
Cхематизація реальної системи, що має декілька ступенів свободи, досягається в методі Релея – Рітца, при використанні якого форма коливань системи задається у вигляді виразу, що включає декілька параметрів.
Іншим прийомом, що дозволяє звести реальну систему до системи з кінцевим числом ступенів свободи, є метод прямої дискредитації. Чим більш число елементів, на які розбита система при використанні цього методу, тим ближче розрахункова схема до вихідної системи. Водночас, якщо елементи обрані однотипними, то навіть при великому їхньому числі виявляється можливим реалізувати розрахунок коливань, використовуючи матричні методи з застосуванням ЕОМ. Прикладами таких методів є метод початкових параметрів у формі матриць переходу і метод прогонки.
При динамічних розрахунках конструкцій складної конфігурації також широко використовується метод кінцевих елементів.
У тому випадку, коли складну коливальну систему можна розділити на декілька підсистем, динамічні характеристики яких визначаються порівняно просто, корисними є методи динамічних податливостей і жорсткостей. Ці методи являють собою узагальнення на динамічні задачі методу сил і методу переміщень будівельної механіки.
У методі послідовних наближень задача про визначення власних частот і форм коливань зводиться до багаторазового розрахунку деформацій системи під дією відомого статичного навантаження.
Розглянемо деякі з використовуваних наближених методів.
Теорема і метод Релея
Відповідно до цієї теореми дійсне значення нижчої власної частоти завжди менше, ніж наближене значення частоти, обчислене енергетичним способом. Доведемо цю теорему для згинальних коливань, цілком аналогічно вона доводиться і для інших видів коливань.
Призначимо, що при рішенні енергетичним способом задачі про вільні згинальні коливання була прийнята форма коливань f = f(x). Тоді відповідне статичне навантаження, здатне викликати вигин по кривій f(х), може бути подане у виді
,
і, отже, наближеним виразом для квадрата частоти буде
. (264)
Через відому сваволю у виборі функції f(x) вона не збігається з жодною з власних форм, що є точними рішеннями; однак функцію f(x) можна представити у виді ряду по цих формах. Якщо шукають нижчу власну частоту, то функцію f(x) можна представити у виді
f(x) = X1(x)+ b2X2(x)+b3X3(x) +… (265)
При вдалому виборі функція f(x) близька до Х1(х), тому коефіцієнти b2, b3, … – малі числа.
Два рази продиференціюємо вираз (265) по х, потім помножимо обидві частини на жорсткість EJ і знову двічі продиференціюємо результат. Тоді одержимо
(266)
Відповідно до основного рівняння (243) можна записати
; ;…
Підставляючи ці значення у вираз (266), одержимо
(267)
За допомогою виразів (265) і (267) утворимо чисельник формули (264)
.
Внаслідок ортогональності власних форм всі інтеграли від добутків, де індекси співмножників різні, рівні нулю, тому
. (268)
Знаменник формули (264) одержимо за допомогою виразу (265) у виді
(269)
Тут також зникають усі члени, що містять добутки XmXn. Підставляючи вирази (268) і (269) у (264), одержимо квадрат нижчої частоти
(270)
Тому що w 1<w 2<w 3<…, то усі дроби більші одиниці і, отже, усі члени чисельника, починаючи з другого, більші, чим відповідні члени знаменника. Тому увесь дріб, що входить виразу (270), більший одиниці, тобто
w 2>, (271)
що і підтверджується теоремою Релея.
Нерівність (271) вірна не тільки для згибних, але і для подовжніх і крутильних коливань.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
