Стійкість і динаміка круглих пластин. Фундаментальні рішення
Диференціальне рівняння сталих поперечних коливань ізотропної круглої пластини в амплітудному стані з урахуванням стискаючих зусиль у серединній площині випливає з (6.53) при використанні співвідношень (6.30), (6.31) (рис. 6.16)
Рис. 6.16 |
(6.117) |
Задача Коші даного рівняння згідно п. 6.3 представляються виразами
(6.118) |
де , , , – відповідно початкові узагальнені прогин, кут повороту, згинальний момент і наведена поперечна сила в напрямку кутової координати . Коефіцієнти виразів (6.118) мають вигляд
(6.119) |
З (6.119) слідує, що для задач динаміки й стійкості круглих пластин необхідно додатково обчислити в порівнянні із задачами статики наступні інтеграли
(6.119) |
Дані інтеграли обчислювалися для пластини з одиничним радіусом по формулі Сімпсона із кроком , їхні значення представлені в табл. 6.13. Інші коефіцієнти в (6.118), вид функцій , позитивні напрямки параметрів круглої пластини представлені в таблицях 3.2, 6.3 і на рис. 1.8, 1.10.
У виразах (6.119) можуть бути враховані будь-які закони зміни зусиль у серединній площині. Для це виконується безпосередньо, для й шляхом кусочно-постійної апроксимації.
Таблиця 6.13 | ||||||||
Параметри круглих пластин | Крайові умови круглих пластин | |||||||
Центр | Край | Центр | Край | Центр | Край | Центр | Край | |
Жорстке защемлення | Жорстке защемлення | Жорстке защемлення | Шарнірне обпирання | Жорстке защемлення | Вільний край | Шарнірне обпирання | Шарнірне обпирання | |
I1 | 0,140830103 | 0,174437352 | 0,625768423 | 0,070668244 | ||||
I2 | -0,734504282 | -2,15772564 | 0,188696919 | -0,562951668 | ||||
I3 | -0,422490267 | -0,523312036 | 1,83326479 | -0,212004652 | ||||
I4 | 0,100033342 | 0,155583304 | 0,940638360 | 0,057038952 | ||||
R2 | -0,551779305 | -2,147395088 | 0,744932928 | -0,289862244 | ||||
S4 | ||||||||
Критична сила | 117,821 | 27,165 | ? | 20,740 | ||||
Безрозмірна частота | 32,464 | 23,573 | 5,493
(5,176[31]) |
14,307 |
Фундаментальні розв’язки
Розв’язок задачі Коші (6.118), як і в п. 6.3.1, можна записати, у вигляді інтегральних рівнянь у матричній формі (6.49). Представимо основні випадки фундаментальних ортонормованих функцій.
1 випадок Корені (6.19) комплексні
Фундаментальні функції мають вигляд (6.50).
2 випадок. . Корені (6.19) дійсні мнимі
(6.120) |
3 випадок Корені (6.19) мнимі
(6.121) |
4 випадок Корені (6.19) дійсні й різні
(6.122) |
Вирази (6.120)-(6.122) переходять у фундаментальні функції для прямокутних пластин, якщо Додамо, що варіаційний метод Канторовича-Власова виключає функції Бесселя, застосовувані звичайно при розв’язанні задач статики, динаміки й стійкості круглих пластин [47, 71, 262, 317 і ін.].
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter