Подовжні коливання стрижнів
Основна особливість процесу вільних коливань систем із безкінечним
числом ступенів свободи виражається в нескінченності числа власних
частот і форм коливань. З цим зв’язані й особливості математичного
характеру: замість звичайних диференціальних рівнянь, що описують
коливання систем із кінцевим числом ступенів свободи, тут доводиться
мати справу з диференціальними рівняннями в приватних похідних. Крім
початкових умов, що визначають початкові зсуви і швидкості, необхідно
враховувати і граничні умови, що характеризують закріплення системи.
При аналізі подовжніх коливань прямолінійного стрижня (мал.67,а) будемо
вважати, що поперечні перетини залишаються плоскими, і що частки стрижня
не роблять поперечних рухів, а переміщаються тільки в подовжньому
напрямку.
Мал. 67
.
Відповідно подовжня сила в перетині з координатою х може бути записана у
виді
,
(173)
жорсткість стрижня при розтягу (стиску). Сила N також є функцією двох
аргументів – координати х і часу t.
. Тому рівняння руху в проекції на вісь х має вид
,
або
.
(174)
З огляду на вираження (173) і приймаючи A = const , одержимо
,
(175)
де
.
(176)
Слідуючи методу Фур’є, шукаємо приватне рішення диференціального
рівняння (175) у виді
,
(177)
тобто припустимо, що переміщення u можна представити у виді добутку двох
функцій, одна з яких залежить тільки від аргументу х, а інша тільки від
аргументу t. Тоді замість визначення функції двох перемінних u (x, t)
необхідно визначати дві функції X(x) і T(t), кожна з який залежить
тільки від однієї перемінної.
Підставивши (177) у рівняння (174), одержимо
,
де штрихами позначена операція диференціювання по x, а точками – по t.
Перепишемо це рівняння у виді
.
:
.
(178)
Звідси випливають два рівняння:
.
(179)
Перше рівняння має рішення
,
(180)
має сенс частоти вільних коливань.
Друге з рівнянь (179) має рішення
??????
(181)
що визначає форму коливань.
відповідає своя функція Tn(t), обумовлена залежністю (180), і своя
функція Xn(x), обумовлена залежністю (181). Рішення (177) є лише
приватним і не дає повного опису руху. Повне рішення утворюється шляхом
накладення всіх приватних рішень:
.
Функції Xn(x) називаються власними функціями задачі й описують власні
форми коливань. Вони не залежать від початкових умов і задовольняють
умові ортогональності, що при А=const має вид
.
Розглянемо деякі варіанти граничних умов.
Закріплений кінець стрижня (мал.68,а). У кінцевому перетині переміщення
u повинно бути рівним нулю; звідси випливає, що в цьому перетині
X=0
(182)
Вільний кінець стрижня (мал.68,б). У кінцевому перетині подовжня сила
(183)
повинна тотожно рівнятися нулю, що можливо, якщо в кінцевому перетині
X’=0.
Пружно – закріплений кінець стрижня (мал.68,в).
, де С0 – жорсткість опори. З огляду на вираз (183) для подовжньої сили,
одержимо граничну умову виду
,
якщо опора розташована на лівому кінці стрижня (мал.68,в), і виду
,
якщо опора розташована на правому кінці стрижня (мал.68,г).
Мал. 68
на кінці стрижня.
Сила інерції, що розвивається масою
.
. Одержуємо граничну умову у виді
,
якщо маса знаходиться на лівому кінці (мал.68,д), і
,
(184)
якщо маса зв’язана з правим кінцем (мал.68,е).
Визначимо власні частоти консольного стрижня (мал.68,a’).
Відповідно до(182) і (183), граничні умови будуть
X=0 при х=0;
.
Підставляючи по черзі ці умови в рішення (181), одержимо
.
0 приводить до частотного рівняння
.
Корені цього рівняння
(n=1,2,…)
визначають власні частоти
(n=1,2,…)…
(185)
Перша (нижча) частота при n=1
.
Друга частота (при n=2)
і т.д.
на кінці (мал.68,е).
Відповідно до (182) і (184) маємо
X=0 при х=0;
.
Підставляючи ці умови в рішення (181), одержимо
.
Отже, частотне рівняння при обліку вираження (176) має вид
.
Тут права частина являє собою відношення маси стрижня до маси кінцевого
вантажу.
Для рішення отриманого трансцендентного рівняння необхідно скористатися
якимсь наближеним способом.
будуть відповідно 0.32 і 0.65.
вирішальний вплив робить вантаж і гарні результати дає наближене рішення
.
const, із рівнянь (173) і (174) утворюється рівняння руху у виді
.
Це диференціальне рівняння не піддається рішенню в замкнутому виді. Тому
в подібних випадках доводиться удаватися до наближених методів
визначення власних частот.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
