Побудова співвідношень МГЕ для складчастих циліндричних і пологих оболонок. Плоска задача теорії пружності для прямокутних пластин (реферат)

Побудова співвідношень МГЕ для складчастих циліндричних і пологих оболонок. Плоска задача теорії пружності для прямокутних пластин

У даному параграфі побудовані основні співвідношення МГЕ для циліндричних складчастих оболонок. Розглянемо циліндричні складчасті оболонки, як конструкції, що мають порівняно прості диференціальні рівняння деформування складових елементів.

Елементами цих конструкцій є відносно тонкі пластини, що працюють в умовах вигину й плоскої задачі теорії пружності. Метод розрахунку напружено-деформованого стану циліндричних складчастих систем розробив В.З. Власов [63]. Тут був застосований варіаційний метод для зниження мірності диференціальних рівнянь вигину й плоска задача, що дозволило успішно вирішити проблеми розрахунку систем подібного типу. До недоліків методу В.З. Власова варто віднести складну логіку формування розв’язуючої системи рівнянь, необхідність розв’язувати диференціальні рівняння для кожного елемента конструкції, обмеження на торцеві умови обпирання елементів складчастих систем (вони повинні бути однаковими), відносні труднощі реалізації алгоритму на ЕОМ.

Пізніше були розроблені інші ефективні методи розрахунку складчастих систем. Відзначимо метод переміщень, заснований на розв’язку М. Леві (вигин) і Л. Файлона (плоска задача) для прямокутних пластин [4] і різні модифікації методу переміщень і змішаного методу [186, 344]. Метод переміщень усуває багато недоліків методу В.З. Власова в частині реалізації алгоритму розрахунку на ЕОМ. Однак, він привносить у методику розрахунку недоліки, пов’язані із природою методу переміщень. Зокрема, формування матриці реакцій вимагає залучення матричних операцій. Обов’язкове формування основної системи привносить недоліки, пов’язані з її використанням. Необхідні проміжні обчислення для переходу від переміщень вузлів до напружено-деформованому стану у внутрішніх точках елементів системи. Метод розроблений тільки для шарнірного обпирання торців конструкції. Подібні недоліки можна виявити й у змішаному методі. Слід зазначити, що останній недолік методу переміщень усунемо, оскільки розв’язок М. Леві й Л. Файлона є окремими випадками варіаційного методу В.З. Власова. Тому можна розробити метод переміщень для довільного обпирання торців складчастої системи. Якщо зневажити впливом побічних коефіцієнтів системи диференціальних рівнянь В.З. Власова, то алгоритм формування матриць реакцій і навантаження залишиться колишнім, а змінюються лише фундаментальні функції. Можна далі модифікувати метод переміщень. В I розділі відзначалося, що на базі співвідношень МГЕ можна побудувати матрицю жорсткості пружного модуля. Для пластинчастих систем також можливий перехід від фундаментальних розв’язків до співвідношень МКЕ [4]. У цьому випадку вийде метод, аналогічний МКЕ для плоских стержневих систем [184].

Тут пропонується метод розрахунку циліндричних складчастих систем, заснований на висновках першої глави й першого розділу. Теоретичною основою методу є, як і для розглянутих вище двовимірних задач, варіаційний метод Канторовича-Власова. Рівняння, що описує вигин прямокутної пластини, представлене в п. 6.2, рівняння вигину круглої пластини – у п. 6.3. Побудуємо аналогічне рівняння для плоскої задачі теорії пружності прямокутних пластин.

Плоска задача теорії пружності для прямокутних пластин

Розв’язок плоскої задачі пов’язаний з визначенням функції напруг Д. Ейрі. Остання може бути визначена як розв’язок бігармонічного рівняння, що має однакову символьну форму запису з рівнянням вигину (6.6)

де  – права частина, що залежить від об’ємних навантажень  і , приведених до серединної площини пластини. Вираз для правої частини виходить із процедури складання бігармонічного рівняння (6.125)

де  – коефіцієнт Пуассона. Напруги (відповідно й сили) виражаються через функцію Д. Ейрі залежностями

де h – товщина пластини. Просте навантаження за допомогою узагальнених функцій може бути записане у вигляді (рис. 6.18,а,в)

Не представляє труднощів скласти аналітичний вираз й для більш складного навантаження. Вираз правої частини (6.126) для навантаження (6.128) прийме вид

У більшості випадків об’ємне навантаження в пластині відсутня і задається тільки поверхневе навантаження виду (рис. 6.18,с)

Для цього випадку  прийме вид

Дотримуючись методу Фур’є поділу змінних [122], розкладемо функції напруг і переміщень у напрямку осей Ох, Оу в ряди по ортогональних системах функцій

Ряди представлені k-ми членами, а індекси опущені. Функція  в плоскій задачі (по В.З. Власову [63]) повинна задовольняти в першу чергу статичним і, по можливості, кінематичним граничним умовам на поздовжніх кромках пластини. Цікаво, що при вигині вимоги до функції  протилежні. Застосовуючи процедуру варіаційного методу Канторовича-Власова до бігармонічного рівняння (6.125), статичним (6.127) і кінематичних параметрів

одержимо задачу Коші для визначення невідомої функції

де  – відповідно формальні (узагальнені) нормальна й зрушуючі сили, поздовжнє й поперечне (у площині пластини) переміщення. Позитивні напрямки статичних і кінематичних параметрів представлені на рис. 6.18, d, g. У даній моделі не задовольняються однорідні кінематичні граничні умови при жорсткому защемленні поздовжніх кромок пластини, що мало впливає на точність результатів. Аналогічна ситуація має місце при вигині, але для статичних параметрів при вільних поздовжніх кромках. З (6.134) випливає, що одномірна модель плоскої задачі принципово не відрізняється від моделі вигину прямокутної пластини (6.13). Відповідно не будуть відрізнятися й фундаментальні функції, але поміняються місцями параметри плоскої задачі. Використовуючи принцип незалежності дії сил і поєднуючи інтегральні рівняння вигину й плоскої задачі, одержимо рівняння для розрахунку циліндричних складчастих

систем, де

У більшості випадків  будуть дорівнюють нулю. У фундаментальних функціях плоскої задачі коефіцієнт А заміняється на , а  на . При  з (6.136) випливають розв’язки М. Леві й Л. Файлона. Відзначимо також, що граничні умови параметрів вигину й плоскої задачі протилежні. Це відноситься й до умов для вибору функції . У таблиці 6.15 представлені граничні умови вигину й плоска задача, що приводять до однакових виразів для фундаментальних функцій і . Рівняння (6.133) є загальним розв’язком рівняння деформування елемента складчастої оболонки (не враховується тільки поперечне зрушення в напрямку осі Оу), для частинних же випадків можна застосовувати спрощене рівняння меншого порядку.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter