Оцінка точності методу Канторовича-Власова (реферат)

Оцінка точності методу Канторовича-Власова

Розглянемо випадок вигину квадратної пластини із шарнірним обпиранням всіх кромок. У цьому випадку спільна система лінійних диференціальних рівнянь (6.5) розпадається на окремі рівняння й порівняно просто можна визначити кілька членів ряду (6.2). Рівняння (6.20) для даної задачі перетвориться в такий спосіб (при )

Для граничних умов на поздовжніх кромках , n=1,2,3,4,… Прогин у центрі пластини стане рядом

.

Тут парні значення . Величина  визначається по формулі

,

а початкові параметри з рівняння (6.26). Для квадратної пластини, навантаженої зосередженою силою в центрі, одержимо

Сума 5 членів дає значення прогину в центрі квадратної шарнірно обпертої пластини   . Видно, що величина прогину по варіаційному методі сходиться до точного значення  [317]. З результатів (6.27) випливає також, що перший член ряду (6.2) містить майже 93 % точного значення прогину при зосередженому навантаженні. Таке швидке наближення до точного результату є особливістю й значною перевагою методу Канторовича-Власова.

Для жорсткого защемлення й шарнірного обпирання кромок квадратної пластини погрішності методу Канторовича-Власова при використанні одного члена ряду представлені в табл. 6.2. Аналіз даних цієї таблиці показує, що гранично можлива погрішність для напруг не перевершує 5-6%. Для прогинів погрішність більша тільки для зосереджених навантажень і досягає 8,0%. Відзначимо, що характерною рисою методу Канторовича-Власова є найбільша розбіжність із точними результатами у квадратних пластин, а для прямокутних пластин погрішність зменшується [30]. Все це підтверджує висновок про те, що для потреб інженерного розрахунку цілком достатньо використовувати тільки один член ряду (6.2). Погрішність методу при інших комбінаціях граничних умов буде перебувати в межах, представлених табл. 6.2. При цьому завжди дотримується відповідність: якщо навантаження кусочно-безперервна функція, то результати методу більше еталонних, якщо навантаження зосереджене, то – менше. Очевидно, це пов’язано з тим, що один член розкладання описує кусочно-безперервне навантаження з надлишком, а зосереджене – з недоліком.

До позитивних елементів одномірного варіанта МГЕ (простота логіки формування розв’язуючої системи рівнянь, гарна стійкість чисельного процесу, безпосереднє визначення початкових параметрів кожного узагальненого стержня з розв’язуючої системи й т.д.) додаються фактори, істотно важливі для розрахунку пластинчастих систем. Ядра інтегральних рівнянь (функції Гріна) у МГЕ не містять сингулярних точок. Із цієї причини рівняння (6.20) знімає проблему обчислення багатомірних сингулярних інтегралів. Виключається й проблема побудови чисельного розв’язку на околицях кутових точок пластини, що досить актуально в прямому методі граничних елементів [29]. Як буде показано нижче, цей момент дозволяє істотно підвищити точність розв’язання задач стійкості тонких пластин по алгоритму МГЕ. Використання узагальнених функцій для опису навантаження  в (1.28) також приводить до несподіваних результатів. Реальною стає можливість обчислення дотичних і нормальних напруг у точках прикладення зосереджених навантажень. У цих точках, зокрема, поперечна сила  при  [5,с.173]. Тут можна відзначити, що невизначеність у значеннях сил і моментів виникає від величини , що при  стає дельта-функцією Дірака. Застосування фільтруючої властивості дельта-функції і її похідних в інтегральних співвідношеннях рівняння (6.20) дозволяє розкрити невизначеність у сингулярних точках пластини, а використання одного члена ряду (6.2) зменшує точне значення меж не більш, ніж на 10-15%. Характерно, що точки прикладення зосереджених навантажень є значними концентраторами напруг. Так, згідно табл. 6.2, для жорстко затисненої пластини відношення згинальних моментів у середині й закладенні дорівнює:  при рівномірно розподіленому навантаженні; 1,615 при зосередженій силі в центрі пластини; 3,013 при зосередженому згинальному моменті в центрі пластини. Такі ж відношення для жорстко затисненої балки відповідно рівні: 0,5; 1,0; 2,0. Стрибок згинального моменту в точці прикладення зосередженого моменту в 2,52 рази більший стрибка по балковій теорії, при шарнірному обпиранні цей стрибок більший в 2,0 рази й т.д. Подібні результати не можна одержати, користуючись класичними методами розв’язання задач теорії пружності (див., наприклад, [47, 262, 317] і ін.), а математичний апарат МГЕ дозволяє виявляти концентрації напруг у сингулярних точках.

Розглянемо можливість дискретизації окремої пластини на підобласті за допомогою алгоритму МГЕ.

Приклад 7.1. Визначити прогин у центрі дискретизованої пластини (рис. 6.3), навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням.

1. Розбиваємо жорстко затиснену по периметрі пластину на 3 підобласті. Кожна підобласть може бути представлена узагальненим стержнем, початок і кінець якого показані стрілкою. Граничні точки позначені цифрами. Положення узагальненого стержня в підобласті не визначено й тому він являє собою “плаваючу” модель у межах розміру разом з іншими узагальненими стержнями інших підобластей.

2. Формуємо рівняння МГЕ (1.40) пластини, як плоскої системи 3 пластин з однаковими граничними умовами по торцях. На лінії границь підобластей повинні бути рівні кінематичні й статичні параметри пластини

Застосовуючи до рівностей (6.28) процедуру методу Канторовича-Власова, одержимо рівняння зв’язку між кінематичними й статичними параметрами узагальнених стержнів, які чисто формально не будуть відрізнятися від відповідних рівнянь звичайних стержнів. Підкреслимо, що це має місце тільки у випадку, коли крайові умови по торцях підобластей однакові. Рівняння зв’язку між граничними параметрами поміщаємо в матрицю Y. Значення фундаментальних функцій і вантажних членів обчислюємо по формулах (6.22) при

Рівняння МГЕ пластини приймає вигляд

Переставляючи рядки матриць , В, як показано цифрами праворуч, методом Гауса визначаємо початкові узагальнені параметри всіх підобластей:

Початкові параметри пластини як цілого модуля будуть рівні

тобто збігаються з початковими параметрами підобласті 0-1 дискретизованої пластини. Прогин у центрі пластини по початкових параметрах модуля 1-2 дорівнює

і збігається із прогином по табл. 6.2. Даний приклад доводить, що кожну пластину можна дискретизувати на підобласті. У свою чергу підобласті можуть виступати як незалежні елементи пружної системи й мати свої крайові умови на торцях. Це дозволяє розглядати пластину зі змішаними крайовими умовами в одному напрямку як плоску систему окремих підобластей.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter