Основні виводи практичного застосування алгоритму МГЕ в задачах статики,
динаміки і стійкості стержневих систем
Аналіз алгоритму МГЕ й практика його застосування приводять до наступних
висновків:
1. Розрахунок напружено-деформованого стану елементів стержневих систем
виконується тільки в рамках локальних систем координат кожного стержня.
Даний висновок можна вважати позитивним, тому що є можливість вибору
довільного порядку формування головної матриці МГЕ – вектора початкових
параметрів Х. Це значить, що для даної стержневої системи існує безліч
варіантів топологічної матриці С, матриць А і В. У зв’язку з цим виникає
проблема оптимальної побудови матриць Х і С, що зводиться до проблеми
раціонального обходу вузлів. Якщо в МКЕ напрямок обходу вузлів істотно
впливає на ширину стрічки матриці коефіцієнтів і пов’язану із цим
трудомісткість розв’язання задачі ?258?, то в МГЕ напрямок обходу вузлів
(орієнтований граф) впливає на трудомісткість розрахунку значно
слабкіше. Зв’язано це з тим, що по МГЕ орієнтований граф незначно змінює
лише топологічну матрицю С, а структура матриці А залишається незмінною.
Тоді трудомісткість розв’язання різних варіантів рівняння (2.23) буде
мати незначні відхилення від оптимальної. На відміну від МКЕ, алгоритм
МГЕ виключає операції переходу від локальних систем координат до
глобальних й навпаки.
2. МГЕ не вимагає проведення статичного й кінематичного аналізів
стержневих систем на предмет вибору основних систем – фундаментальних
понять методів сил і переміщень.
Це означає, що розрахункова схема конструкції в МГЕ не піддається
змінам, і тим самим підвищується вірогідність результатів розрахунку,
тому що вибір основної системи впливає на стійкість і точність
розв’язку.
3. Стержнева система розбивається у вузлах на окремі елементи. Як
правило, вузловими точками є точки розриву статичних і кінематичних
параметрів стержнів.
Сітки дискретизації розрахункових схем по МГЕ й МКЕ збігаються, якщо
переміщення стержнів точно описуються поліномами. Якщо переміщення
описуються гіперболічними й тригонометричними функціями, то сітка МКЕ
містить більше стержнів, ніж сітка МГЕ при однаковій точності
результатів розрахунку.
4. МГЕ має більший порядок розв’язуючої системи рівнянь, ніж методи сил
і переміщень, але істотно більш просту логіку алгоритму, ніж інші
методи.
При формуванні розв’язуючої системи рівнянь МГЕ виключає такі операції
як транспонування, перемножування, обіг матриць, зведення заданого
навантаження до еквівалентного вузлового. Матриці МГЕ формуються на базі
інтегрального рівняння – розв’язку задачі Коші, у якому по циклу
міняються довжина й навантаження стержнів.
Можна припустити, що МГЕ має максимум арифметичних операцій і мінімум
логіки алгоритму, тобто містить всі ознаки машинних методів розрахунку,
а більший порядок розв’язуючої системи рівнянь дозволяє одержати більш
повну інформацію про напружено-деформований стан системи.
5. МГЕ складається з розв’язку задачі Коші в матричній формі й крайової
задачі для лінійних алгебраїчних рівнянь щодо початкових і кінцевих
параметрів всіх стержнів. Для розв’язання системи рівнянь МГЕ доцільно
застосовувати метод виключення Гауса без вибору провідних елементів або
з обмеженим вибором провідних елементів.
загального виду (не симетричних і не позитивно визначених).
, у результаті чого в кожному рядку число ненульових елементів невелике
й, отже, мале число операцій виключення.
природно масштабує матрицю А, створюючи в ній набір чисел, що убувають
у міру видалення від головної діагоналі. Визначник матриці А в
безрозмірних величинах дорівнює одиниці. Разом із системою граничних
значень ортонормованих фундаментальних функцій це сприяє гарній
стійкості розв’язку системи рівнянь (1.46).
7. МГЕ має значні резерви економії часу роботи й пам’яті комп’ютера. Ці
резерви полягають у наступному.
, В.
. Розв’язання системи рівнянь (1.46) можна припинити, як тільки будуть
визначені всі невідомі початкові параметри стержнів, тобто зворотний хід
методу Гауса може бути скорочений.
, тобто поряд з перестановкою рядків можна використовувати операцію
перестановки стовпців.
, В.
8. МГЕ дозволяє врахувати різні фактори реальних конструкцій. Для цього
необхідно розглянути більш точне диференціальне рівняння й аналітично
розв’язати відповідну задачу Коші. Далі уточний розв’язок необхідно
застосувати в схемі (1.46).
9. Топологічна матриця С містить компенсуючі елементи, які відбивають
геометричні особливості лінійної системи у вузлах. Набір її ненульових
елементів залежить від прийнятого орієнтованого графа й інваріантний
стосовно виду розрахунку (статичному, динамічному, біфуркаційному).
10. МГЕ дозволяє без проміжних операцій переходити від крайової задачі
визначення початкових параметрів до обчислення напружено-деформованого
стану у внутрішніх точках стержнів.
11. Між МГЕ й МКЕ існує зв’язок. Матриця жорсткості КЕ може бути
отримана з рівняння МГЕ (2.23) при розв’язані задач деформування від
одиничних лінійних і кутових переміщень.
12. МГЕ відноситься до точних методів визначення спектрів частот власних
коливань і критичних сил втрати стійкості пружних систем.
13. МГЕ виключає можливість появи фіктивних і пропуск дійсних власних
значень, тому що розрахункові схеми конструкцій не піддаються змінам і
являють собою задані набори стержнів з нескінченними числами ступенів
свободи.
– матриця коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь МГЕ.
Корені трансцендентного рівняння (3.2) найбільш просто визначаються
методом послідовного перебору в сполученні із прямим ходом методу
виключення Гауса. Алгоритм МГЕ поєднує в собі переваги МКЕ, методу
переміщень (відсутність точок розриву 2-го роду в трансцендентному
рівнянні для власних значень, можливість визначення точного спектру,
простота логіки формування рівняння (3.2) і т.д.) і відкидає їхні
недоліки. Досягається це ціною більш високого порядку частотного
рівняння в порівнянні з існуючими методами.
15. Врахування зосереджених мас і сил інерції лінійно рухомих стержнів
виконується шляхом збільшення розподілених мас пов’язаних з ними
невільних стержнів по формулі (3.21), а також уточненням динамічних
розрахункових схем конструкцій за методикою п.3.6.1.
16. Алгоритм МГЕ найбільшою мірою пристосований для розв’язання
неконсервативних задач стійкості пружних систем будь-якої структури в
порівнянні з існуючими методами.
17. Врахування неконсервативних стискаючих сил у МГЕ забезпечується
топологічною матрицею С, де кожний варіант поводження стискаючої сили
має свій набір ненульових компенсуючих елементів.
18. Для лінійних систем, навантажених неконсервативними силами, існує
спектр критичних сил і криволінійних форм рівноваги, як і при дії
консервативних сил. У лінійних системах спектри ейлерових і
неконсервативних критичних сил можуть накладатися один на одного. Тому
дія неконсервативних стискаючих сил може істотно понизити першу
неконсервативну критичну силу.
19. Флатер пружної системи можна припинити не тільки накладенням
додаткових зв’язків, зниженням рівня навантаження, але й перекладом
системи в суміжну форму рівноваги.
20. Пружні системи мають можливість раптового переходу у флатер. Така
можливість виникає при певних величинах неконсервативних навантажень,
при яких початкові форми рівноваги системи перестають існувати.
21. При однакових по величині консервативних і неконсервативних
стискаючих сил флатер не наступає й має місце тільки ейлеровий тип
втрати стійкості.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
