Осесиметричні задачі. Рішення в переміщеннях. Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
Зупинимося на плоских задачах, у яких напруження, а, отже, і функція не залежать від полярного кута . У цьому випадку бігармонічне рівняння (4.26) приймає більш простий вид:
,
або після диференціювання
| . | (4.27) |
Також спрощуються вираз напружень (4.24):
| ; ; . | (4.28) |
При відсутності об’ємних сил залишиться тільки одне з рівнянь рівноваги (4.1)
| . | (4.29) |
Спростяться й геометричні співвідношення Коші (4.4), тому що складова переміщення v в силу симетрії дорівнює нулю:
| ; ; . | (4.30) |
З формул закону Гука (4.5) залишаться лише дві:
| (а) |
Осесимметричну задачу в переміщеннях можна вирішити в загальному виді. З формул закону Гука (а) знаходимо
| (б) |
За допомогою співвідношень (4.30) виключаємо із цих рівнянь складові деформації:
Підставляючи ці напруження в рівняння рівноваги (4.29), одержуємо диференціальне рівняння відносно складового переміщення :
| . | (4.31) |
Воно має змінні коефіцієнти. Для рішення приведемо його до рівняння з постійними коефіцієнтами за допомогою наступної підстановки:
| (4.32) |
або
| . | (в) |
Диференціюючи вираз (4.32) по змінній , одержуємо
| (г) |
Встановимо зв’язок між похідними функції по старій і новій змінним:
З урахуванням рівності (г) одержуємо
| (д) |
Друга похідна
| (е) |
Підставляючи похідні (д) і (е) в рівняння (4.31), знаходимо
.
Рішення цього рівняння має вигляд
.
Вертаючись до старої змінної , відповідно до залежностей (4.32) і (в) одержуємо
| . | (4.33) |
Знаючи складову переміщення , знаходимо з рівнянь (4.30) складової деформації:
| (4.34) |
а з формул (б) – складових напружень:
| (4.35) |
Постійні й визначаються із граничних умов.
Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
Прикладом осесимметричної задачі є задача Ламе про товстостінну круглу трубу, що перебуває під дією внутрішніх і зовнішнього рівномірних тисків (рис. 4.11).
Рис. 4.11. Задача Ламе
Внутрішній радіус труби дорівнює , зовнішній — .
Для рішення скористаємося формулами напружень (4.35), отриманими із загального рішення осесимметричної задачі в переміщеннях. Тому що розглянута задача ставиться до випадку плоскої деформації, то зазначені формули повинні включати пружні постійні й . Відповідно до позначень (3.6), маємо
Для визначення постійних і маємо наступні умови на поверхні:
при ;
при ;
Підставляючи їх у формули (а), одержуємо:
Вирішуючи спільно ці рівняння, знаходимо:
Після підстановки знайдених постійних у рівняння (а) напруги:
| (4.36) |
Цікаво відзначити, що сума нормальних напружень і у всіх точках труби однакова. Дійсно, складаючи почленно формули (4.36), знаходимо
| . | (б) |
У випадку плоскої деформації в поперечних перерізах труби виникають також нормальні напруження . За аналогією з формулою (3.1),
Підставляючи сюди суму напружень (б), одержуємо
.
Таким чином, осьові нормальні напруження постійні по довжині труби. Виключення становлять перерізи, що перебувають поблизу кінців труби, де, мабуть, труба не буде випробовувати плоскої деформації.
В окремому випадку, коли на трубу діє тільки внутрішній тиск, тобто , формули напружень (4.36) приймають наступний вид:
| (4.37) |
Епюри цих напружень зображені на рис. 4.12, а. Найбільші стискаючі радіальні і розтягуючі тангенціальні нормальні напруження, виникають у точках у внутрішньої поверхні труби тобто при :
;
.
У точках у зовнішньої поверхні труби (при )
| а | б |
Рис. 4.12. Епюри при тільки внутрішнім або тільки зовнішньому тиску
Розглянемо трубу зовнішнім радіусом, набагато більшим внутрішнього. З формул (4.37) після розподілу чисельника і знаменника на одержуємо:
Переходячи до границі при , знаходимо
| (в) |
Це значить, що всі точки труби випробовують однакові за значенням радіальні й тангенціальні напруження, що відрізняються лише знаком. Отже, труба з нескінченно великим зовнішнім радіусом перебуває в умовах чистого зсуву. У точках внутрішньої поверхні (при ) ці напруження дорівнюють тиску , а в точках, що відповідають , вони становлять . Якщо в практичних розрахунках достатня точність в 6%, то зовнішній радіус можна вважати нескінченно більшим. У цьому випадку рішення не пов’язане з формою зовнішнього контуру і формули характеризують розподіл напружень для труби з будь-якою формою зовнішнього контуру за умови, що всі його точки відстоять від центра отвору на відстані, більшому ,
В іншому окремому випадку, коли на трубу діє тільки зовнішній тиск ( ), з формул (4.36) одержуємо
| (4.38) |
Епюри цих напружень зображені на рис. 4.12, б. У точках внутрішньої поверхні при
;
а в точках зовнішньої поверхні при
;
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
