Осесиметричне крутіння оболонок. Несиметрично навантажені оболонки
обертання
— постійні.
Рис. 13.16. Осесиметричне крутіння оболонок
не залежать, у цьому випадку вони будуть відсутні.
, одержимо
. (13.41)
Неважко переконатися, що ця рівність являє собою рівняння рівноваги
частини оболонки, зображеної на рис. 13.16.
дорівнює нулю.
:
. (13.42)
Цій силі, що зрушує, відповідає дотичне напруження
. (13.43)
Знаменник правої частини рівності являє собою момент опору крутінню
кільцевого перетину
, (13.44)
отже, формула (13.43) збігається із загальновідомою формулою для
дотичного напруження при крутінні бруса
. Використовуючи рівності
,
рівнянню (13.20) можна додати наступний вид:
або
.
:
. (13.46)
Величина, що коштує в знаменнику в дужках, дорівнює полярному моменту
інерції кільцевого перетину
. (13.47)
Отже,
.
Отримані формули для напруження (13.43) і кута закручування (13.46)
справедливі також при розрахунку диска на концентричне крутіння (рис.
13.17).
Рис. 13.17. Розрахунок диска на концентричне крутіння
, тоді інтенсивність зсувної, на внутрішньому й на зовнішньому краях
.
У довільній точці диска інтенсивність сили, що зрушує, і дотичне
напруження визначаються по формулах (13.42) і (13.43).
.
Слід зазначити, що при крутінні оболонки в її поздовжні (меридіональних)
перетинах, відповідно до закону парності, також виникають дотичні
напруження (мал. 13.18). Ці напруги врівноважуються дотичними силами,
прикладеними до торців.
Рис. 13.18. Дотичні напруження в меридіональних перетинах
Несиметрично навантажені оболонки обертання
При аналізі напруженого й деформованого стану несиметрично навантажених
оболонок обертання варто використовувати загальні рівняння безмоментної
теорії (13.5) – (13.14) у частинних похідних.
Рівняння рівноваги (13.5) — (13.7) доцільно представити в наступній
формі:
не повинне бути накладене зв’язків, тому що в противному випадку
виникнуть реактивні поперечні сили й напружений стан не буде
безмоментним.
Якщо будуть задані дві силових граничних умови й дві геометричних, то
оболонка буде статично визначена стосовно внутрішніх зусиль. Це значить,
що для визначення внутрішніх зусиль залучати рівняння переміщень не
потрібно.
Якщо ж буде задано три геометричних умови і одна силове або всі чотири
умови геометричні, то оболонка буде один або два рази статично
невизначений. У цьому випадку внутрішні зусилля можуть бути визначені
тільки в результаті спільного рішення рівнянь рівноваги й переміщень.
.
Рис. 13.19. До прикладу 13.4
Рішення.
не обмежене).
у цьому випадку відсутні, рівняння рівноваги (13.49)—(13.51) приймають
вид
відповідно до рівняння (13.52).
Для відшукання необхідного рішення застосуємо напівзворотний метод
Сен-Венана. Цей метод полягає в тому, що одна із шуканих функцій
задається. Потім, використовуючи одне з наявних рівнянь, визначають
другу невідому функцію. Знайдені в такий спосіб дві функції підставляють
у друге рівняння, якщо останнє – задовольняється, то ці функції і будуть
шуканим рішенням.
Оскільки при крутінні оболонки основні залежності не відрізняються від
відповідних залежностей теорії крутіння бруса, припустимо, що при вигині
оболонки формули елементарної теорії вигину бруса також зберігають свою
силу.
від верхнього торця (рис. 13.20).
Рис. 13.20. Довільний поперечний переріз (до прикладу 13.4)
.
Розкладемо нормальне напруження на дві складові, паралельну і
перпендикулярну осі оболонки:
задовольняє загальновідомої залежності теорії згину бруса:
.
Тоді повне меридіональне напруження в довільній крапці
і меридіональне зусилля
зрушує :
.
, перетворимо це рівняння до наступного виду:
.
Звідси
то також дорівнює нулю.
, буде прикладена до торця у вигляді розподілених нормальних і дотичних
сил, що задовольняють рівнянням (13.55) і (13.56):
сил, що задовольняють рівнянню (13.57).
На відміну від суцільного бруса система із сил, прикладених до торця,
може впливати на напружений стан оболонки на значній відстані від торця.
.
З теорії поперечного згинання бруса відома формула для дотичного
напруження
, то вийде наступне значення напруги:
.
Цій напрузі відповідає інтенсивність сили зсуву,
.
і, крім того, силу, перпендикулярну осі оболонки:
. Отже, перший доданок у виразі (13.56) враховує наявність складової
меридіональних сил, перпендикулярної осі оболонки.
Окружне зусилля визначається по меридіональному зусиллю на підставі
рівняння (13.52):
. (13.60)
Наведене рішення задачі про згинання оболонки отримано без використання
гіпотези плоских перетинів, на основі загальних рівнянь безмоментної
теорії оболонок. На цій підставі можна укласти, що загальні
закономірності теорії згинання бруса залишаються справедливими також при
згинанні оболонок обертання.
Приклад. Застосуємо отримані залежності до задачі про згин конуса,
зображеного на рис. 13.21, а.
Рішення.
, то на підставі рівняння (13.56):
.
силу .
Рис. 13.21. До прикладу 13.5
також дорівнюють нулю.
Таким чином, у стінці розглянутої конічної оболонки виникають тільки
меридіональні зусилля (рис. 13.21, б)
.
у вершині, працює як просторова конічна ферма.
, перпендикулярної осі оболонки, прикладеної до кільця.
Рис.13.22. До прикладу 13.6
Рішення.
При рішенні даної задачі не будемо користуватися напівзворотним методом
Сен-Венана, а вирішимо задачу прямим шляхом.
приймають вид
(13.63)
і рівняння деформацій (13.12)-(13.14) відповідно:
??A????????????H?H??????
”
”
$
*
,
’
”
¦??Oaeeeiiueth
TH
a
th
a
6…6†6‡6?6?6‹6
77
відлічується уздовж осі циліндра від верхнього торця.
:
,
.
:
,
.
Вважаючи, що кільце не робить опору осьовим зсувам краю циліндра,
одержимо наступну граничну умову на верхньому торці:
,
.
необхідно використовувати інші граничні умови. Оскільки ці умови
геометричного характеру, звернемося до рівнянь деформацій.
:
,
.
:
;
;
.
Використовуємо граничні умови на нижньому торці циліндра:
;
.
Згідно із цими умовами
;
приймає наступний вид:
;
.
при переміщенні точок краю циліндра повинні дорівнювати переміщенням
відповідних точок кільця.
(рис. 13.23, а).
а б
Рис. 13.23. Абсолютно жорстке кільце
на верхньому торці буде
.
Отже,
.
, то рішення однорідного рівняння варто відкинути. Залишається частне
рішення рівняння із правою частиною. Останнє має вигляд
.
, розглянемо рівновагу кільця (рис. 13.23, б). Дорівнявши нулю суму
проекцій сил на горизонтальну вісь, знайдемо
або
,
звідки зсув центра кільця
.
Вносячи це вираження в знайдені раніше залежності, одержимо
;
;
;
.
визначається на підставі рівняння (13.65):
.
відповідає мерідіональне зусилля
.
відповідає зусилля, що зрушує
.
відповідає переміщенню за рахунок згину, а другий — за рахунок
зрушення, викликаного поперечною силою.
від розглянутої точки до нейтральної лінії.
, що враховує ефект поперечної деформації при дії нормальних напружень
у поздовжньому напрямку.
На підставі викладеного можна зробити наступний загальний висновок: якщо
поперечне навантаження передається на оболонку через жорстке кільце, то
оболонку можна розраховувати на згинання по звичайних формулах теорії
згину бруса.
При малій згинальній жорсткості кільця задачу доцільно вирішувати в
рядах. При цьому необхідно використовувати умови спільності деформації
оболонки і кільця.
.
у вигляді рядів Фур’є:
. Їх визначають звичайними методами, застосовуваними при розкладанні
функцій у ряди.
Перші доданки виразів (13.67) відповідають симетричним; складовим
навантаження; другі – обернено симетричним.
Таким чином, рішення задачі про напруження і деформації довільно
навантаженої оболонки зводиться до знаходження рішення для навантаження
виду
– им членам рядів (13.67).
Підставимо компоненти навантаження (13.68) у загальні рівняння
безмоментної теорії (13.49) – (13.51):
. (13.71)
Рішення цієї системи рівнянь шукаємо в наступному виді:
).
прийдемо до системи двох диференціальних рівнянь у звичайних похідних:
), потім обидва рівняння складемо; одночасно введемо нову невідому
функцію
.
:
), то необхідно аналогічним способом одержати рішення системи рівнянь
переміщень (13.12) — (13.14) і визначати вже не дві, а чотири постійні.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
