Метод Треффца. Принцип можливих напружених станів
Якщо функції для компонентів переміщень обрані так, що вони
задовольняють кінематичним граничним умовам і є частними рішеннями
рівнянь рівноваги по обсягу тіла, то в рівняннях (11.77) узагальненого
методу Бубнова-Гальоркіна об’ємні інтеграли обертаються в нуль і
рівняння приймають вид
(11.112)
Система рівнянь (11.112) є математичним формулюванням методу Трєффца.
Вносячи сюди вираз для варіацій переміщень (11.78), одержуємо
. Якщо ж рівняння рівноваги записані в напруженнях, то, попередньо
використовуючи фізичні рівняння зв’язку між напруженнями й деформаціями,
а потім залежності Коші, варто переписати рівняння рівноваги в
переміщеннях.
Принцип можливих напружених станів
Для рішення крайових задач може бути використаний принцип можливих
напружених станів, що у якомусь ступені є антиподом принципу можливих
переміщень. Принцип цей може бути сформульований як для лінійних, так і
нелінійних задач теорії пружності і будівельної механіки. Однак його
використання для рішення геометрично нелінійних задач натрапляє на певні
обчислювальні труднощі. Обмежимося викладом принципу можливих змін
напруженого стану лише для рішення геометрично лінійних задач.
, при яких не відбувається порушення рівнянь рівноваги тіла.
Статично можливі напруження задовольняють наступним однорідним рівнянням
рівноваги по обсягу
(11.114)
і на його поверхні
(11.115)
Принцип можливих напружених станів формулюється так: якщо деформація
системи погодиться з усіма внутрішніми зовнішніми зв’язками, то сума
робіт, вироблених можливими змінами всіх зовнішніх і внутрішніх сил на
дійсних переміщеннях тіла, дорівнює нулю. Його математичне формулювання
має вигляд
(11.116)
або
(11.117)
де
.
Залежність (11.117) носить назву варіаційного рівняння Кастильяно.
. А якщо це так, то такий стан і буде дійсним напруженим станом, що
виникає в тілі під дією заданої сукупності зовнішніх сил.
).
варіаційна формула (11.117) спрощується й приймає вид
приймає стаціонарне значення.
. Тоді варіаційна формула (11.119) перетвориться до виду (11.35)
??
???d?d?????????????|W??
скручують , прикладених до торцевих перерізів стержня (рис. 11.10).
Матеріал стержня ізотропний і підкоряється закону Гука.
Рис. 11.10
Рішення
залежностями (5.7):
(11.121)
за умови на контуру поперечного перерізу однозв’язного стрижня (5.14)
можна скористатися варіаційною формулою (11.116), що приводить до
тотожного виконання всіх умов сплошності.
по площі торцевих перерізів невідомий — він визначається з умов
спільності деформацій тіла стержня.
Для компонентів переміщення, які будуть потрібні при складанні основної
залежності принципу можливих напружень (11.116), приймемо використовуємі
в теорії крутіння призматичних стержнів вирази (5.19)
— кут закручування на одиницю довжини стержня — підлягає визначенню.
дорівнюють нулю, а також незмінність компонентів напруження й
компонентів деформації по довжині стрижня, рівняння (11.116) стосовно до
розглянутого випадку перепишеться в наступному виді:
або, якщо скористатися законом Гука (2.32) і виразити компоненти
деформації через компоненти напруги,
(11.123)
де l і F — довжина й площа поперечного переріза стержня відповідно.
будемо мати наступне варіаційне рівняння:
(11.124)
Рівнянням (11.124) виражається умова стаціонарності функціонала
.
є рівняння контуру поперечного перерізу розглянутого стерижня. Тоді
вираз
по площі поперечного переріза стержня.
, одержуємо для визначення коефіцієнтів наступну систему (у нашім
випадку — лінійних алгебраїчних) рівнянь:
, по формулах (5.16) можна визначити спочатку жорсткість стержня на
крутіння
(11.127)
а потім значення погонного кута закручування
визначаються по формулах (11.121).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter