Круглі осесиметричні пластини змінної товщини
Розглянемо особливості розрахунку пластин, у яких товщина плавно
змінюється по радіусу.
Складемо диференціальне рівняння пружної поверхні такої пластини.
:
(12.66)
У загальному випадку, при довільному законі зміни товщини по радіусі
рівняння (12.66) може бути проінтегровано тільки чисельними методами.
Для одержання наближеного рішення задану пластину можна апроксимувати
східчастою пластиною з декількома ділянками постійної товщини. Є, однак,
важливий окремий випадок, коли рівняння (12.66) інтегрується у
квадратурах. Це той випадок, коли товщина змінюється за статечним
законом
(12.67)
Залежно від показника ступеня форма пластини може бути різної (мал.
12.25).
Рис. 12.25. Пластини змінної товщини
, зустрічається, зокрема, при розрахунку дисків турбомашин на осьове
навантаження.
— товщину на внутрішньому контурі пластини.
На підставі рівності (12.67):
(12.68)
Згинальна жорсткість у довільній точці пластини в цьому випадку
— жорсткість на внутрішньому краї;
2
4
~
?
RTVXZ\jln‚
„
– X\ln„
Після підстановки вираз (12.69) рівняння (12.66) приймає вид
(12.71)
Загальне рішення рівняння (12.70) можна представити у вигляді суми
загального рішення відповідного однорідного рівняння
(12.72)
і частного рішення рівняння із правою частиною.
Загальне рішення однорідного рівняння шукаємо у вигляді
Підставивши в диференціальне рівняння (12.72), одержимо характеристичне
рівняння
корінь якого
Отже,
(12.73)
Частне рішення рівняння із правою частиною залежить від виду
навантаження. При дії рівномірного тиску p (спрямованого зверху
долілиць)
Підставивши Q у праву частину рівняння (12.71), шукаємо рішення
останнього у вигляді , у результаті нескладних перетворень одержимо
(12.74)
Для випадку навантаження силою P, розподіленої по внутрішньому краю, за
аналогією знайдемо
(12.75)
При спільній дії тиску p і сили P загальне рішення диференційного
рівняння (12.71) запишеться у вигляді
(12.76)
Постійні інтегрування й визначають, як звичайно, по граничних умовах.
Згинальні моменти можуть бути обчислені по залежностях (12.29), (12.30);
напруження – по формулах (12.38).
Прогин пластини може бути знайдений інтегруванням функції по рівнянню
(12.39).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter