Реферат на тему:
Моделювання кредитного ризику за допомогою імовірнісних автоматів
Від того, наскільки ефективно розпоряджатиметься своїми резервами банк,
залежатиме його майбутнє, і майбутнє країни, у якій він знаходиться. Не
останній вплив на розпорядження засобами здійснює кредитний ризик.
Кредитний ризик у першу чергу пов’язаний із процентною ставкою по цьому
кредиту. Оскільки те, що банк може втратити від одних клієнтів, він
повинен собі повернути за допомогою інших. І в цьому йому успішно
допомагає саме процентна ставка, оскільки вона, крім показників, що
включають у себе інфляцію і здатність коштів до обороту, тобто його
ліквідність, плату службовцем банку, входить також і кредитний ризик.
Серед останніх досліджень, присвячених цій темі, особливе місце займає
оптимізація активно-пасивних операцій комерційних банків, серед яких є
пов’язані з видачею кредиту та операціями з депозитами клієнтів.
Метою статті є вивчення та реалізація кредитного ризику та його впливів
на діяльність комерційного банку. Це вивчення здійснюватиметься на
основі імовірнісно-автоматної моделі.
Для початку в комерційного банку є певна кредитна ставка (2, при якій
вважається, що ризик відсутній, тобто нульовий. Від цієї кредитної
ставки банк і відштовхується. Для того, щоб компенсувати можливі втрати,
банк піднімає кредитну ставку до (1, при цьому зрозуміло, що обмеження
на цю процентну ставку існують, оскільки при дуже великій процентній
ставці по кредиту в банку просто не буде клієнтів, що означає його
загибель. Таким чином, ми приходимо до того, що кредитна ставка (1
повинна в розумних межах забезпечувати компенсацію втрат банку.
З процентною ставкою по кредиту найпростіше працювати, якщо відомі
відповідні імовірності втрати коштів (зрозуміло, що ці імовірності також
залежатимуть і від величини кредиту, оскільки, чим більший виданий
кредит, тим більше в нього повинна бути імовірність втрати чи
неповернення частини цього кредиту). Наприклад, якщо ми знаємо
імовірність того, що можемо втратити кредит на суму S0, що дорівнює p,
то відповідно імовірність того, що кредит буде повернутий банку, така:
(1 – p).
Нехай випадкова величина S визначає кількість коштів, що повернеться
банку. Розглянемо, яку суму в середньому зможе одержати банк, видавши
такий кредит: з імовірністю (1 – p), банк повертає сам кредит і відсотки
по ньому, тобто в загальному випадку банк одержує величину S0 + (1 ( S0
= (1 + (1)S0; з імовірністю p банк втрачає кредит, тобто він одержує 0
грошових одиниць. Як можна помітити, випадкова величина S є дискретною,
розподіленою за законом Бернуллі. Відповідно, у середньому банк одержує
таку суму:
= (1 – p)(1 + (!)S0 + p ( 0=(1 – p)(1 + (1)S0.
Тобто завдання полягає в тому, щоб підібрати процентну ставку (1
відповідно до процентної ставки (2. А це можна зробити просто, якщо
прирівняти середні кошти, отриманій у випадку з кредитними ставками (1 і
(2. Таким чином, необхідно просто прирівняти ці два співвідношення, тоді
одержимо наступне:
= (1 – p)(1 + (1)S0 = (1 + (2)S0.
Звідси, скорочуючи на S0, отримаємо співвідношення: (1 – p)(1 + (1) = (1
+ (2).
.
Слід також зазначити, що величина (2 містить у собі й інфляційну
складову, яка відображає, наскільки повинна змінитися процентна ставка
по кредиту залежно від впливу інфляції. А оскільки процентна ставка (1
містить у собі процентну ставку (2, то інфляція впливає і на процентну
ставку в умовах ризику.
У даному випадку в нас не враховуються дві позиції: те, що кредит може
повернутися частково, і те, що імовірність втрати кредиту залежить не
тільки від суми кредиту, але і від терміну, на який цей кредит був
даний.
Для того, щоб враховувати те, що кредит може повернутися частково,
необхідно володіти інформацією про частини цього кредиту, що можуть бути
неповернуті, та імовірностях, що відповідають цим частинам загального
кредиту. Наприклад, припустимо, що дано кредит у валюті на суму S0 =
1000 доларів під відсоток (2 = 40 %. При цьому банк може не одержати
частину (1 = 0,2 цього кредиту (тобто 200 доларів) з імовірністю p1 =
0,3 і частину (2 = 0,7 (тобто 700 доларів) з імовірністю р2 = 0,5. Тоді
можна розглянути випадкову величину (, що дорівнює частині неповерненого
кредиту, у даному випадку це буде дискретна випадкова величина, тобто:
Знайдемо, яку частину кредиту банк може в середньому втратити. Для
цього, як і раніш, нам необхідно знайти математичне сподівання
дискретної випадкової величини (:
= 0,2 ( 0,3 + 0,7 ( 0,5 + 0 ( 0,2 = 0,41.
)(1 + (1)S0 = 0,59 ( 1,4 ( 1000 = 826 доларів. Щоб компенсувати можливі
втрати, банк повинний вибрати кредитну процентну ставку (1, щоб у
середньому одержати кредит із процентною ставкою (2 = 20 %. Це
досягається шляхом порівняння середнього повернення кредиту у випадку з
ризиком повернення його визначених частин і кредиту, отриманого без
обліку ризику, тобто одержимо:
)(1 + (1)S0 = (1 + (2)S0.
Можна також виділити випадок, коли клієнт віддає частину боргу потім.
Нехай у цьому випадку випадкова величина ( являє собою частину боргу, що
може повернути клієнт, тоді матимемо, що банк одержить від клієнта
частину кредиту і, можливо, частину боргу по цьому кредиту, тобто:
S = (1 + (1)(1 – ()S0 + ((1 + (1)(S0. = (1 + (1)S0((1 – () + (().
.
У випадку складних відсотків ця формула матиме більш складний вигляд і
тому для визначення (1 необхідно буде застосовувати чисельні методи
розв’язку рівняння. Припустимо, що клієнт виплачує кожен термін постійну
величину R – ренту. Ця величина, як відомо, може бути виражена через
процентну ставку по кредиту (, період, на який був даний кредит T і
величину кредиту S0, у такий спосіб:
.
Тоді, під час виплати ренти, банк одержуватиме таку величину:
R(1 – () + R(( = R(1 – ( + ((). У даній формулі немає залежності від
процентної ставки (1 чи (2, однак не варто забувати, що величина ренти
залежить від цих показників. У даному випадку величина ренти залежить
від установленої банком кредитної ставки (1, а величина ренти, що
існувала у випадку відсутності ризику R0, залежить від процентної ставки
(2. Умовою, з якої можуть бути знайдені дані процентні ставки, є умова
рівності в середньому величини виплат по ренті з урахуванням ризику і
величини ренти в умовах відсутності ризику, тобто одержимо:
M(R(1 – ( + (()) = RM(1 – ( + (() = R(1 – M( + M((()) = R(1 – M( + M(M()
= R0. Якщо записати це співвідношення, використовуючи процентні ставки
(1 і (2, то одержимо таке рівняння:
.
А це рівняння вже розв’язується за допомогою комп’ютера.
Якщо ж внесок був застрахований, то можна виділити страховий ризик,
тобто ризик, при якому страхова компанія не виконає своїх зобов’язань.
Нехай деяка випадкова величина ( і характеризує цей ризик, вона являє
собою величину, що приймає значення 0 чи 1, з певними ймовірностями.
Значення 0 відповідає невиконанню страховою компанією умов договору, а
значення 1 – виконання таких умов.
У такому випадку, коли маємо справу з простою процентною ставкою, її
обчислення відбуватиметься на основі таких міркувань.
Величина, яку одержить банк без страховки, як було зазначено раніше,
буде такою: S = (1+(1)S0((1–() + (().
Аналогічні міркування можна застосувати і для знаходження складної
процентної ставки по кредиту. Як і раніш, нехай клієнт сплачує деяку
ренту R. Без страхування коштів ця сума буде такою: R(1 – ( + (().
Для того, щоб можна було вважати кредитний відсоток для кредитів у
валюті, необхідно включити в розгляд і валютний ризик. Він зв’язаний у
першу чергу з імовірністю зміни курсу валюти за час угоди. У
найпростішому випадку цей ризик можна враховувати так.
((1+(1)S0. У випадку, коли такого ризику не було б, банк одержав би SF
= (1+(2)S0. У такий спосіб дана кредитна ставка є ненабагато завищеною
(хоча таке завищення в даному випадку допускається, оскільки всі інші
ризики поки що нами не враховані). Для того, щоб визначити оптимальну
кредитну ставку, знову приходимо до рівності:
((1+(1)S0 = (1+(1)S0.
(1+(1)S0=(1+(2)S0. Звідси остаточна формула залежності процентної
ставки від ризиків, матиме вигляд:
.
Характерною рисою формули є те, що при середньому коливанні дуже
близькому до 1, значення процентної ставки практично не змінюється, а
якщо ж коливання істотне і більше 1, то процентна ставка по кредиту (1
може бути навіть менше, ніж (2. У випадку, коли коливання, у середньому,
наближаються до нуля, що у свою чергу означає, що курс валюти значно
знизився, процентна ставка (1 буде дуже високою.
Перейдемо безпосередньо до побудови імовірнісної-автоматної моделі:
Реальна процентна ставка (2 є деякою випадковою величиною (. Кредит, що
видається i-му клієнту, також є випадковою величиною (i.
Переведення усіх виплат по кредиту в основну валюту відбувається тільки
після закінчення періоду, на який цей кредит був даний. Валютний курс
вважається випадковою величиною (. Кожен кредит страхується і тому борг
може бути повернутий страховою компанією залежно від реалізації
випадкової величини (i.
Внутрішні стани автоматів будуть такими:
) – час від моменту t до моменту взяття кредиту i-им клієнтом банку;
) – час від моменту t до моменту закінчення терміну ренти для i-го
клієнта банку;
) – випадкова величина (i – частина ренти, що може повернути i-ий
клієнт;
) – накопичена на момент t сума по ренті, що виплачена i-им клієнтом;
e(t) – курс валюти на момент t;
) – випадкова величина (i – частина заборгованості, яку i-ий клієнт
може погасити на момент часу t;
) – загальна заборгованість для i-го клієнта;
) – випадкова величина (i – виданий i-ому клієнту банку кредит;
) – величина ренти для i-ого клієнта банку;
) – величина процентної ставки по банківському кредиту для i-ого
клієнта;
l(t) – ринкова процентна ставка по кредиту, випадкова величина (;
s(t) – загальне значення усіх виплат по кредитах у банку і грошові
запаси банку, з обліком реальної процентної ставки.
):
– сигнал, що приймає одиничне значення тоді і тільки тоді, коли в
наступний момент часу почнеться відлік для періоду виплати рент, тобто
даний клієнт візьме кредит у наступний момент часу. У противному випадку
сигнал приймає нульове значення;
– сигнал, наявність якого свідчить про те, що клієнт ще не взяв
кредит, коли ж цей сигнал приймає нульове значення, то клієнт
знаходиться в періоді виплати ренти по кредиту;
– цей сигнал з’являється у випадку, коли в клієнта банку є борг по
виплаті ренти, у противному випадку сигнал стає нульовим;
– сигнал, що свідчить про те, що в наступний момент закінчиться
період, на який був виданий кредит і почнеться відлік часу до наступного
разу взяття кредиту.
):
Для даної моделі матриця алфавітів виглядатиме так:
Ai Bi Ci Di E Fi Gi Hi Ki L Ri S
Ai N0 D ( D ( ( D ( D ( D (
Bi N0 N0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( D
Ci ( ( R[0,1] R[0,1] ( ( R[0,1] ( ( ( ( R[0,1]
Di ( ( ( R+ ( ( ( ( ( ( ( R+
E ( ( ( ( R+ ( ( ( ( ( ( R+
Fi ( ( ( R[0,1] ( R[0,1] R[0,1] ( ( ( ( R[0,1]
Gi ( ( ( R+ ( ( R+ ( ( ( ( R+
Hi ( ( ( ( ( ( ( R+ R+ ( ( R+
Ki ( ( ( R+ ( ( R+ ( R+ ( ( R+
L ( ( ( ( ( ( ( ( ( R+ R+ R+
Ri ( ( ( R+ ( ( R+ ( R+ ( R+ R+
S ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R
N0 – натуральні числа з нулем; D – двійкові числа; R+ – невід’ємні
дійсні числа; R[0, 1] – дійсні числа з відрізку [0, 1]; ( – порожня
множина.
Таким чином, дану модель можна продовжувати удосконалити, наприклад,
можна зробити, щоб термін, на який видається кредит, був випадковою
величиною, чи змоделювати іншу схему виплати кредиту, коли він
віддається не частинами, а цілком і з відсотками наприкінці періоду
кредитування тощо.
Доцільно помітити дуже важливий факт, такий як наявність системи
розподілів незалежних випадкових величин, оскільки від точності даних по
розподілах залежить і ступінь довіри до отриманих остаточних даних.
Не останнім при розробці подібних моделей, на нашу думку, є і
впровадження нейро-автоматного моделювання [3], за допомогою якого можна
визначити по певних характеристиках кредитора, наскільки ризиковано
видавати йому кредит. При цьому нейронну мережу необхідно навчити на тих
архівних даних по клієнтах, що є в банку, після чого її можна приєднати
до останньої моделі з метою відмови чи видачі кредиту клієнтам, це у
свою чергу може внести частку реальності в модель.
Література:
1. Костіна Н.І., Сучок С.В. Моделювання діяльності комерційного банку в
умовах нерівномірності платіжних строків та існування валютного обміну
коштів // Вісник НБУ. – 2002. – № 2. – С. 26–31.
2. Костіна Н.І., Сучок С.В. Деякі аспекти прогнозування валютного курсу
за допомогою технології нейро-автоматного моделювання // Вісник НБУ. –
2003. – № 1. – С. 38–45.
3. Костина Н., Сучок С. Нейроавтоматное моделирование – новая технология
валютного прогнозирования. Часть 2 // Банковские технологии. – 2002. –
№ 12. – С. 31–34.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
