Елементи матричних перетворень (реферат)

Реферат на тему:

Елементи матричних перетворень

Означення матриці. Основні види матриць

Розглянемо множину m ( n дійсних чисел, записаних у вигляді прямокутної
таблиці з m рядків і n стовпців:

. (3.1)

Означення 3.1. Матрицею називається таблиця упорядкованих чисел, яка
складається з m рядків і n стовпців.

Позначаються матриці літерами A, B, C тощо.

позначають відповідно номер рядка та стовпця, на перетині яких
міститься даний елемент. Наприклад, елемент a23 міститься в другому
рядку і третьому стовпці.

Розглянемо матрицю

, (3.2)

яка має два рядки (m = 2) і три стовпці (n = 3), тобто розміром 2 ( 3.
Загалом, якщо матриця m рядків має рядків і n стовпців, розмір такої
матриці дорівнює (m * n).

Означення 3.2. Якщо в матриці А кількість рядків m дорівнює кількості
стовпців n (m = n) ,її називають квадратною порядку m (або n). Якщо m (
n, то матриця А є прямокутною розміром (m ( n).

Матриця А в (3.2) є прямокутною розміру 2 ( 3.

Розглянемо основні види матриць.

Означення 3.3. Матриця-стовпець є прямокутна матриця порядку m ( 1:

. (3.3)

Означення 3.4. Матриця-рядок є прямокутна матриця порядку 1(n:

. (3.4)

Матриці (3.3) і (3.4) можна розглядати як вектори.

Означення 3.5. Матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, називається
нульовою:

.

Розглянемо квадратну матрицю порядку n ( n.

. (3.5)

— побічну діагональ матриці А.

Означення 3.6. Квадратна матриця, в якої всі елементи, крім елементів
головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною, тобто

. (3.6)

.

Означення 3.7. Квадратна матриця En є одиничною n-го порядку, якщо всі
елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи —
нулю, тобто

(3.7)

.

, коли i > j) дорівнюють нулю:

.

):

(3.9)

Транспонуючи вектор-стовпець, дістанемо вектор-рядок і навпаки, а саме:

i

Означення 3.10. Матриця А називається симетричною, якщо A = A(, тобто
матриця А дорівнює її транспонованій матриці A(.

Очевидно, що симетрична матриця має бути квадратною і aij = aji.

Приклад 3.1.

тобто A = A(.

— симетричні матриці.

Зауважимо, що справджується тотожність

.

Елементарні дії над матрицями

одного й того самого порядку (m ( n) вважаються рівними, якщо всі
відповідні елементи цих матриць рівні між собою, тобто

Отже, матриці різних порядків завжди не рівні між собою.

матриці можна додавати, віднімати, множити матрицю на число та матриці
на матрицю.

мають порядок m ( n, то

(3.10)

.

Очевидно,що

При додаванні матриць А, В, і С одного й того самого порядку
справджується закон асоціативності:

(А + В) + С = А + (В + С).

порядку (m ( n) називається матриця, елементи якої дорівнюють (aij,
тобто

(3.10)

При множенні матриці А на скаляр ( виконуються такі закони:

Дві матриці А і В можна помножити одна на одну, тобто визначити С = АВ,
коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Рис. 3.1

Нехай маємо матрицю А порядку m ( k і матрицю В — k ( n. Добуток двох
матриць С = АВ існує, бо матриця А має k стовпців, і стільки ж рядків
має матриця В. Матриця-добуток С = АВ матиме порядок m ( n, тобто
стільки рядків, скільки має перша матриця А, і стільки стовп-

ців — скільки їх має матриця В. Цей висновок унаочнює рис. 3.1.

є сумою добутків відповідних елементів i-го рядка матриці А на
елементи j-го стовпця матриці В, тобто

Приклад. Знайти добуток С = АВ, коли

— порядок 2 ( 3;

— порядок 3 ( 2.

Добуток цих двох матриць існує, оскільки кількість стовпців матриці А
дорівнює трьом, стільки ж рядків має матриця В, тобто виконується умова
множення двох матриць. Перемноживши ці матриці, дістанемо:

(3.11)

Порядок матриці С, яка є добутком А і В, дорівнює 2 ( 2.

При множенні матриць діють такі закони:

, тобто добуток матриць не є комутативним.

.

б) (АВ)С = А(ВС);

в) (А+В)С = АС + ВС;

г) С (А+В) = СА + СВ;

е) АE = EA = A, де E — одинична матриця того самого порядку, що й
матриця А;

Як окремий випадок добуток матриці розміру 1 ( p (вектор-рядок) на
матрицю порядку p ( 1 (вектор-стовпець) дає скаляр, а саме:

,

то

і

.

, отже, вектори А і В — взаємно ортогональні.

), тобто квадратна матриця, яка при множенні сама на себе не
змінюється, називається ідемпотентною.

, матриця А є ідемпотентною.

Скалярні характеристики матриць

). Значення всіх трьох характеристик пов’язане з конкретною матрицею.

Розглянемо докладніше ці характеристики.

— дійсні числа.

Означення 3.13. Якщо вектор А подається у вигляді

, (3.12)

називаються коефіцієнтами лінійної комбінації.

n-вимірного простору називаються лінійно незалежними, якщо

 = 0 (нуль-вектор), (3.13)

коли

= 0,

.

в лінійній комбінації (3.13) нульового вектора.

, тобто

,

хоча б для одного і.

Означення 3.16. Максимальна кількість лінійно незалежних
векторів-стовпців (рядків) матриці А називається рангом стовпців
(рядків) цієї матриці .

Коли ранг стовпців збігається з рангом рядків матриці А, то можна
говорити просто про ранг матриці А.

Зрозуміло, що

min(m,n),

де m — кількість рядків матриці А; n — кількість її стовпців.

Говорять, що матриця А має повний ранг, коли

rg A = min(m,n).

Означення 3.17. Квадратна матриця повного (неповного) рангу називається
відповідно невиродженою (виродженою) або регулярною (сингулярною)
матрицею.

(n-го порядку), ранг якої дорівнює n, тобто

= n .

Для рангу виконуються такі співвідношення:

;

A = rgA;

min(rgA, rgB).

Означення 3.18. Слідом матриці А порядку n є сума елементів її
головної діагоналі, тобто

.

Для сліду виконуються такі співвідношення:

— дійсні числа;

в) tr(AB) = tr(BA).

Якщо А — симетрична матриця, то

Означення 3.19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А порядку
n називається алгебраїчна сума n членів, кожний з яких містить n
співмножників, узятих по одному з кожного рядка (стовпця) матриці.

Позначається:

(3.14)

Властивості визначників.

2. Якщо всі елементи рядка (стовпця) матриці дорівнюють нулю, то її
визначник також дорівнює нулю.

3. При перестановці двох будь-яких стовпців (рядків) визначника його
знак змінюється на протилежний, а абсолютна величина не змінюється.

4. Визначник з двома однаковими стовпцями (рядками) дорівнює нулю.

значення визначника множиться на це саме число.

6. Спільний множник всіх елементів стовця (рядка) можна винести за знак
визначника.

7. Якщо два стовпці (рядки) визначника пропорційні, то визначник
дорівнює нулю.

8. Визначник не зміниться, якщо до будь-якого стовпця (рядка) додати
елементи другого стовпця (рядка), попередньо помноживши їх на відмінний
від нуля множник.

Розглянемо визначник матриці n-го порядку

(3.15)

Викреслимо в ньому i-й рядок і j-й стовпець, на перетині яких міститься
елемент aij. У результаті залишиться визначник матриці (n – 1)-го
порядку

. (3.16)

.

@

U

B

D

D

F

H

?

?

°

?

O

U

Ue

TH

e

e

? O B

D

j

l

n

p

?

¬

O

O

@

$

?????????U

U

??????U

??U

PpP’P?Q¦ReR>S?SOS2TeT,U‚U?UaeUOIaeUUAUUAaeUAUUUUaeAUU

$a$gdAU

gdAU

??????U

, який береться зі знаком (–1)i + j (і — номер рядка; j — номер стовпця
елемента aij), є алгебраїчним доповненням цього елемента, тобто

Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого його
стовпця (рядка) на відповідні їх алгебраїчні доповнення:

(3.17)

. Розкладемо його за елементами другого рядка:

Зауважимо, що детермінант другого порядку обчислюють відніманням добутку
елементів побічної від добутку елементів головної діагоналі:

Обчислити детермінант матриці А розміром 3 ( 3 можна згідно з
властивістю (18) або за правилом Сарруса (Sarrus):

+ + + – – –

– – – + + +

за правилом Сарруса:

.

Члени зі знаком «плюс»:

Члени зі знаком «мінус»:

Користуючись поняттям детермінанта, дамо інше означення рангу матриці.

Означення 3.21. Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінного
від нуля мінора цієї матриці.

Якщо rg A = r, то це означає, що серед мінорів матриці є, зрештою, хоча
б один мінор r-го порядку, відмінний від нуля, тоді коли всі мінори
вищого порядку: r + 1, r + 2 і т.д. дорівнюють нулю.

Нехай потрібно знайти ранг матриці А:

Згідно з означенням рангу матриці його значення не може перевищувати 3.

Обчислимо один з визначників третього порядку матриці А:

Отже, ранг матриці А дорівнює 3.

Обернена матриця.

Обернення (інвертування) матриць

Поняття оберненої матриці є одним з центральних у матричних
перетвореннях. Дамо означення оберненої матриці та розглянемо її
знаходження.

того самого порядку, така що виконується рівність

(3.18)

— одинична матриця порядку n.

називають інвертуванням матриці А

Таким чином, інвертуватись можуть тільки квадратні матриці, визначник
яких відмінний від нуля.

Теорема 3.1. Якщо визначник (det А) не дорівнює нулю, то матриця А має
обернену:

(3.19)

матриці А, а саме:

Отже,

(3.20)

Наведемо основні властивості оберненої матриці:

;

;

;

;

;

.

матрицю називають ортогональною.

обернену до матриці А:

(див. підрозд. 3.3).

Визначимо приєднану матрицю J:

Отже,

Тоді

= E:

Блочні матриці.

Дії з блочними матрицями

Визначення блочних матриць

В цілому ряді випадків доцільно великі матриці розбивати вертикальними і
горизонтальними прямими на кілька частин. Наприклад, нехай матриця А має
порядок 5*6:

Розіб’ємо її на чотири підматриці:

Тоді матрицю А запишемо:

(3.22)

), — рівну кількість стовпців, а саме: s; n – s (3.21).

Неприпустимі такі розбиття матриць, схеми яких показані на рис. 3.2 і
3.3.

Дії з блочними матрицями

а) Додавання матриць.

Нехай маємо блочні матриці А i B одного і того ж порядку та однаково
розбиті:

є також блочною матрицею того ж порядку, що й матриці А i B:

(3.23)

Таким чином, при додаванні (відніманні) блочних матриць насамперед має
виконуватись умова, що відповідні матриці-доданки мають однаковий
порядок.

Зауважимо, якщо матриці розбиті таким чином, що можна виконати дію
подібно тому, як це зроблено при додаванні матриць А i B в (3.23), то
таке розбиття має назву «відповідне».

б) Множення матриць.

Нехай А — матриця порядку m ( k; a B — матриця порядку k ( n. У такому
разі існує добуток С = АВ (див. рис.3.1). Нехай матрицю А розбито на дві
підматриці:

:

,

– s ( n;

– (k – s) ( n.

Нехай матриці А i B розбито відповідно на чотири підматриці:

Тоді відповідні підматриці мають розміри:

– (m – r) ( s;

– (m – r) ( (k – s);

– (k – s) ( p;

– (k – s) ( (n – p).

Добуток С = АВ складається з чотирьох підматриць C11, C12, C21, C22:

Розміри підматриць відповідно дорівнюють:

– r( (n – p);

– (m – r) ( (n – p).

Отже, при множенні блочних матриць має існувати відповідність між
кількістю стовпців першої матриці А і кількістю рядків другої матриці В,
тобто вони мають бути рівними.

Далі з блочними матрицями виконують операцію множення за тими самими
правилами, що й зі звичайними матрицями.

Приклад 3.3. Знайти добуток С = АВ двох блочних матриць А i B:

Обчислюємо добуток С = АВ:

;

Запишемо блочну матрицю-добуток С = АВ:

Отже, блочна матриця С = АВ має стільки рядків, скільки їх має блочна
матриця А (m = 3), і стільки стовпців, скільки їх має блочна матриця В
(n = 4).

і обчислюється так:

є mp ( nq.

, якщо:

— порядок 4 ( 6.

.

Для блочної матриці

існує таке правило транспонування:

;

множення блочної матриці на число виконується так:

Обернення блочних матриць (формула Фробеніуса).

Детермінант блочної матриці

Нехай А — невироджена матриця, яка є блочною

Обернена до А матриця — також блочна, причому

, (3.27)

, де Е — одинична підматриця.

Запам’ятайте такий вираз:

, (3.28)

де А i D — невироджені матриці відповідно розміру m ( n i n ( n; матриця
В — порядку m ( n.

Детермінант (визначник) квадратної блочної матриці А визначається як

(3.29)

Нехай матриця А — невироджена і має блочно-діагональний вигляд:

(3.30)

Визначник такої блочної матриці:

Визначник блочно-діагональних матриць:

(3.31)

і

. (3.32)

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

PAGE

(3.21)

(3.21)

(3.25)

(3.24)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.26)

Ii?yaeie aeiaooeo AA

(=)

(m*k)

(k*n)

?en. 3.3

?en. 3.2

k-s – noiaioe?a

s – noiaioe?a

m – ?yaee?a

n – noiaioe?a

k-s – ?yaee?a

s – ?yaee?a

r – ?yaee?a

m-r – ?yaee?a

k-s – noiaioe?a

s – noiaioe?a

s – ?yaee?a

k-s – ?yaee?a

n-p – noiaioe?a

p – noiaioe?a

p – noiaioe?a

n-p – noiaioe?a

r – ?yaee?a

m-r – ?yaee?a

3 ?yaeee

2 ?yaeee

1noiaiaoeue

3 noiaioe?

2 ?yaeee

1 ?yaeie

1 ?yaeie

2 ?yaeee

3 noiaioe?

1noiaiaoeue

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *