Реферат на тему:
ЗАКОНИ КЕПЛЕРА
Заслуга відкриття законів руху планет належить видатному німецькому
вченому Йоганну Кеплеру (1571 —1630). На початку XVII ст. Кеплер,
вивчаючи рух Марса навколо Сонця, встановив три закони руху планет.
Перший закон Кеплера. Кожна планета обертається по еліпсу, в одному з
фокусів якого міститься Сонце (мал. 1).
Еліпсом (див. мал. 1) називається плоска замкнута крива, властивість
якої полягає в тому, що сума відстаней від кожної її точки до двох
точок, які називаються фокусами, залишається сталою. Ця сума відстаней
дорівнює довжині великої осі DА еліпса. Точка О — центр еліпса, К і S —
фокуси. Сонце знаходиться в даному разі у фокусі S. DО = ОА — а — велика
піввісь еліпса. Вона є середньою відстанню планети від Сонця:
Найближча до Сонця точка орбіти А називається пер и-гелієм, а найдальша
від нього точка D — а ф е л і є м.
Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом е.
Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра (0K = 0S)
до довжини великої півосі а.
), еліпс перетворюється в коло.
Орбіти планет — еліпси, які мало відрізняються від кіл; їхні
ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0,017.
Другий закон Кеплера (закон площ). Радіус-вектор планети за однакові
проміжки часу описує рівні площі, тобто площі SАН і SСD рівні (див. мал.
3), якщо дуги АН і СD планета описує за однакові проміжки часу. Але
довжини цих дуг, що обмежують рівні площі, різні: АН > СD.
Мал. 1. Закон площ (другий закон Кеплера)
Отже, лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її
орбіти. Швидкість планети під час її руху по орбіті тим більша, чим
ближче вона До Сонця. У перигелії швидкість планети найбільша, в афелії
найменша. Таким чином, другий закон Кеплера кількісно визначає зміну
швидкості руху планети по еліпсу.
Третій закон Кеплера. Квадрати зоряних періодів обертання планет
відносяться, як куби великих півосей їхніх орбіт. Якщо велику піввісь
орбіти і зоряний період обертання однієї планети позначити через a1, T1,
а другої планети — через а2, Т2, то формула третього закону матиме такий
вигляд:
Цей закон Кеплера пов’язує середні відстані планет від Сонця з їхніми
зоряними періодами і дає змогу встановити відносні відстані планет від
Сонця, оскільки зоряні періоди планет уже були обчислені за синодичними
періодами, інакше кажучи, дає змогу подати великі півосі всіх планетних
орбіт в одиницях великої півосі земної орбіти.
Велику піввісь земної орбіти взято за астрономічну одиницю відстаней (а(
= 1 а. о.).
її значення в кілометрах визначили пізніше, лише у XVIII ст.
Протягом багатьох століть у природознавстві панувала аристотелівська
точка зору на природу тяжіння: «Земля і Всесвіт мають загальний центр;
важке тіло рухається до центра Землі, і відбувається це внаслідок того,
що центр Землі збігається з центром Вселеної».
У «Новій астрономії» на думку Кеплера, тяжіння — це «взаємне тілесне
тяжіння подібних (родинних) тіл до єдності чи сполучення». У примітках
до свого більш пізню твору про місячну астрономію Кеплер пише:
«Гравітацію я визначаю як силу, подібну до магнетизму — взаємному
притяганню. Сила притягання тим більше, чим обидва тіла ближче одне до
іншого … ». Цим самим Кеплер істотно просувається в напрямку, що
пізніше приводить Ньютона до відкриття його знаменитого закону
всесвітнього тяжіння. Тут же Кеплер додає: «Причини океанських припливів
і відливів бачимо в тім, що тіла Сонця і Місяця притягають води океану
за допомогою деяких сил, подібних до магнетизму». Намагаючись установити
кількісну залежність між силою притягання і відстанню, Кеплер припустив,
що сила притягання прямо пропорційна ваги, але назад пропорційна
відстані.
Увага Кеплера було притягнута і до такої властивості матеріальних тіл,
як інерція. Сам термін «інерція» був введений у саме Кеплером. Він
позначив їм явище опору руху спочиваючих тел. Інерція руху, принаймні до
1620 р., їм не розглядається. Важливо відзначити, що поняття інерції
було поширено Кеплером (у його розумінні) на неземні тіла і явища. У
«Новій астрономії» він пише: «Планетні кулі повинні бути по природі
матеріальні …, вони мають схильність до спокою, чи відсутності руху».
Для пояснення ексцентричності орбіт Кеплер припустив, що планети являють
собою «величезні круглі магніти», магнітні осі яких зберігають постійний
напрямок, подібно осі вовчка. Отже, планети будуть періодично те
притягатися ближче до Сонця, то відштовхуватися від нього, відповідно до
розташування їхніх магнітних полюсів. Далі Кеплер поділяє всю орбіту
Землі на 360 частин, відзначивши на орбіті положення Землі З1, З2, …,
З360 у відповідні моменти часу t1, t2, …, t360. Кеплер зіставляв суму
відстаней між Землею і Сонцем у моменти часу ti і tk (і в усі проміжні
моменти) із проміжком часу, необхідним планеті, щоб перейти з положення
Зi, Зк. При додаванні виявилося, що ця сума відрізків не залежить від
обраної ділянки орбіти, а тільки від величини проміжку часу. Згадавши
потім, як Архімед для перебування площі кругу розкладав його на велике
число трикутників, Кеплер заміняє суму відстаней площею сектора,
описаного радіусом-вектором крапки орбіти, вважаючи ці величини
пропорційними, хоча і не говорячи про цьому прямо. Необхідно помітити,
що при висновку закону площ (наприкінці 1601 — початку 1602 р.) Кеплер
зустрівся і по-своєму справився з задачею, що має пряме відношення до
того розділу математики, бурхливе розвиток якого незабаром ознаменувало
настання нового етапу в історії математики, зв’язаного з численням
нескінченно малих. Його спроба нескінченного підсумовування власне
кажучи була першим кроком у чисельному інтегруванні. Другий закон
визначав зміну швидкості руху планет по їхній орбіті, однак сама форма
орбіти залишалася ще невідомої.
Тепер Кеплеру залишалося дати математичний опис тієї кривої, по якій
рухається планета, і ця задача виявилася найбільш складною і
трудомісткою. Довелося перевіряти одну за іншою багато гіпотез. При
цьому, щоправда, у розпорядженні Кеплера вже був могутній засіб
дослідження — його закон площ. Це давало можливість, задаючи гіпотезу
про криву тієї чи іншої форми, обчислювати положення, що повинний був би
займати Марса на цій передбачуваній орбіті в різні моменти часу, і
порівнювати їх з положеннями, що спостерігаються. «Правда лежить між
навкруги й овалом, начебто орбіта Марса є точний еліпс». Але, помістивши
Сонце в його центр, Кеплер знову не прийшов до результату, що погодиться
з даними спостережень.
На початку 1605 р. Кеплеру вдалося знайти щирий зв’язок між відстанню
Сонце — Марс і так називаною ексцентричною аномалією. Він знайшов тоді
рівняння, що зараз називається його ім’ям і широко використовується в
теоретичній астрономії. Це рівняння має вид:
— константи. Це рівняння є одним з перших трансцендентних рівнянь, що
знайшли практичне застосування. Нарешті Кеплер помітив, що бічне
сплющення орбіти складає 0,00429 частки радіуса, що точно дорівнює
половині квадрата визначеного їм раніше ексцентриситету (0,09262
=0,00857). І тоді Кеплер припустив, що орбіта Марса — еліпс, але Сонце
розташовується не в його центрі, а в одному з фокусів. Перевірка
гіпотези еліпса швидко привела його до успішного завершення роботи, що
ознаменовались висновком першого закону: Марс рухається по еліпсі, в
одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Кеплер не сумнівався, що по
цьому ж законі рухаються й інші планети, що незабаром їм було
перевірено. Він був упевнений також, що й орбіта Землі — еліпс, але
через малий ексцентриситет (e= 0,01673) і недостатньої точності
спостережень цей еліпс тоді ще неможливо було відрізнити від окружності.
Відкриті Кеплером закони підготували ґрунт Ньютонові для відкриття
закону всесвітнього тяжіння.
Закони Кеплера зберігають своє значення й у наш час. Правда, будучи
абсолютно суворими математичними законами для руху двох матеріальних тіл
(точніше — матеріальних крапок), вони не враховують впливи на кожну
планету інших планет, що хоча і дуже слабкі, але все-таки приводять до
невеликих відхилень їхнього руху від еліптичної орбіти. Але математики й
астрономи навчилися враховувати ці впливи (завдяки чому, між іншим, були
відкриті планети Нептун і Плутон).
Третій закон руху планет Кеплер вивів значно пізніше (у 1619 р.). Суть
цього закону була викладена в праці за назвою «Світова гармонія». Кеплер
формулює цей закон так: «… відношення між періодами звертання
яких-небудь двох планет саме дорівнює полуторного ступеня відносини
їхніх середніх відстаней; однак звертаю увагу на те, що середнє
арифметичне обох діаметрів еліптичної, орбіти деяким менш длиннейшего
діаметра». Зараз цей закон формулюється в такій формі: квадрати
сидерических періодів планет відносяться між собою, як куби їхніх
середніх відстаней від Сонця.
Приклад р о з в’я з у в а н н я задачі
Використана література
Астрономія та фізика. Історія відкриттів. – М., 1990.
Енциклопедія юного астронома. Розділ «Закони Кеплера». – М., 1994.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
