Реферат на тему:
Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод
Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни
рівняння системою двох рівнянь. Розв’язування рівнянь у цілих числах
1. Відшукуємо розв’язок алгебраїчного рівняння
(1)
Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до
вигляду
(2)
або
(3)
Викладемо спочатку допоміжний результат.
Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній
площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і
достатньо, щоб виконувалась рівність
(4)
тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.
Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені
які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти
рівняння (1):
.
Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність.
Нехай виконується умова (4). Позначимо
знаходимо вираз
:
має корені
які є вершинами рівностороннього трикутника.
є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з
рівнянь
які можна записати у вигляді
(5)
Кожне з рівнянь (5) рівносильне рівнянню (4).
2. Доведемо основний результат.
Теорема 2. Якщо умова (4) не виконується і всі корені рівняння (1)
різні, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова
(4) виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).
Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему
рівнянь
(6)
знаходимо:
(7)
дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b
яку можна записати у вигляді
(8)
Ця система рівнянь має розв’язок
(9)
Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння
Дискримінант D цього рівняння
відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).
Зауважимо, що з рівнянь
рівняння (1):
Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді
рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему
рівнянь
розв’язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у
вигляді
Приклад 1. Розв’язати кубічне рівняння
Згідно з формулами (7)—(9) знаходимо:
Рівняння виду (2) набирає вигляду
і має розв’язок
Рівняння має дійсний корінь
Приклад 2. Розв’язати рівняння
.
Знаходимо значення
Рівняння виду (2) набирає вигляду
який визначається з рівнянь
Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня
Метод Феррарі зводить розв’язування рівняння четвертого степеня до
розв’язування кубічного рівняння відносно введеного параметра.
Визначивши параметр, знаходять невідоме.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Виділимо повний квадрат у лівій частині рівняння, подавши його у вигляді
.
Дістанемо таке рівняння:
.
, виділяємо повний квадрат:
.
так, щоб права частина була повним квадратом. Для цього дискримінант
квадратного тричлена має дорівнювати нулю:
.
дістали кубічне рівняння
.
–
,
gd)9X
¤ ¤gd?e
¤ ¤gd)9X –
”
4
6
V
X
Z
\
?
I
4
6
,
4
f
?
?
D
?
?
oaOAEAE?oOO???O?O?o?
gd)9X
6
8
:
D
?
E
E
a
&
F
dha$gd)9X
dh`„-gd)9X
:
,
або
.
Розглядаючи цей вираз як різницю квадратів двох виразів, подамо її у
вигляді
.
Рівняння розпадається на два рівняння
;
.
Приклад. Розв’язати рівняння четвертого степеня
.
Виділимо повний квадрат:
,
,
. (*)
Тричлен у правій частині буде повним квадратом, якщо його дискримінант
дорівнює нулю:
.
Дістанемо кубічне рівняння відносно а:
.
цього кубічного рівняння.
, дістанемо рівняння відносно х:
,
або
,
,
.
Остаточно знаходимо розв’язки
,
.
Метод заміни рівняння системою двох рівнянь
Іноді розв’язування рівняння можна спростити, звівши його до системи
рівнянь із двома невідомими.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
, дістаємо систему рівнянь
. Тоді дістанемо систему рівнянь:
,
.
із систем рівнянь:
Приклад. Розв’язати рівняння
.
, дістаємо систему рівнянь
Віднімаючи почленно перше рівняння від другого маємо:
;
Розв’язування рівнянь у цілих числах
Розглянемо спочатку найпростіше рівняння
. (1)
Воно має чотири розв’язки в цілих числах
.
До рівняння виду (1) зводяться складніші рівняння та системи рівнянь.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь у цілих числах:
За аналогією до рівняння (1) розв’язуємо такі системи:
Приклад. Розв’язати в цілих числах рівняння
.
Дане рівняння можна записати у вигляді
,
тобто звести до рівняння виду (1):
Розглянемо складніший приклад.
Приклад. Розв’язати в цілих числах рівняння
.
:
.
Знаходимо дискримінант лівої частини рівняння:
.
.
При цьому знаходимо корені рівняння
,
а також розклад лівої частини на множники:
.
Перетворюємо вихідне рівняння до виду (1):
.
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
