Реферат на тему:
Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул
Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння
, то квадратне рівняння
не має дійсних коренів. Через це квадратний тричлен
.
виконується нерівність
?
Необхідною і достатньою умовою правильності нерівності є виконання
системи умов
.
нерівність
?
Приходимо до системи нерівностей
.
, при яких нерівність
.
. Приходимо до системи нерів-
ностей
яку можна записати у вигляді
:
.
Використання формул Вієта
, при яких відношення коренів рівняння
дорівнює 2.
Маємо систему рівнянь
. Маємо рівняння:
.
.
.
, при яких сума коренів рівняння
дорівнює сумі їхніх квадратів.
Скориставшись формулами Вієта, дістанемо систему
Останнє рівняння можна записати у вигляді
.
.
, при якому рівняння
має рівні між собою корені.
Квадратне рівняння має рівні між собою корені, якщо його дискримінант
дорівнює нулю. Розв’яжемо рівняння
,
шукане.
Приклад. Знайти суму кубів коренів рівняння
.
і обчислити суму кубів коренів:
.
Таку саму відповідь можна дістати за допомогою формул Вієта:
.
Коефіцієнти зведеного квадратного рівняння
є симетричними функціями від коренів рівняння.
. Це й було виконано в попередньому прикладі.
сума квадратів коренів рівняння
буде мінімальною?
Використовуючи формули Вієта, дістаємо:
.
Знаходимо дискримінант рівняння
.
.
сума квадратів коренів рівняння
набуває найменшого значення?
Знаходимо дискримінант рівняння (1):
.
. Знаходимо суму квадратів коренів рівняння (1) за формулами Вієта:
.
.
.
рівняння
мають спільний корінь?
Запишемо рівняння Вієта
,
. Рівняння
.
Ще один спосіб розв’язування прикладу полягає ось у чому.
— шуканий спільний корінь рівнянь. Маємо систему алгебраїчних рівнянь
(2)
і віднявши від першого рівняння. Дістанемо рівняння
.
рівняння (2) не мають дійсних розв’язків.
:
.
.
, при якому один із коренів рівняння
(3)
утричі менший від одного з корнів рівняння
. (4)
j„
h
h
j?
h
h
h
h
h
h
d
f
”
h
j‡
h
h
j†
h
h
j…
h
h
h
h
???????????I??
h
h
h
j‰
h
h
h
h
.2?1/4OOooeoun
p
’
”
–
?
¬
e
e
j?
h
h
h
h
h
j?
h
h
h
h
h
2Oue?
?
h
j‘
h
h
h
h
h
h
h
h
j“
h
h
h
h
h
j’
h
h
h
h
&
gd
&
gd
gd
dha$gd
3/4
dh ¤ ¤gd
gd
h
h
j?
h
h
h
h
h
jF
h
h
jc
h
h
j¦
h
h
jY
h
h
j¤
h
h
h
h
j?
h
h
j©
h
h
j?
h
h
h
h
j§
h
j
h
h
h
j¬
h
h
h
j«
h
h
h
h
dhgd
&
F
gd
gd
&
gd
dhgd
gd
dha$gd
h
h
j?
h
h
h
j?
h
h
h
h
j±
h
h
jµ
h
h
h
h
h
j?
h
h
j?
h
h
j?
h
h
h
j?
h
h
h
h
j1/4
h
h
h
h
j»
h
h
h
h
jA
h
h
jA
h
h
h
h
j?
h
h
h
h
jAe
h
h
jA
h
h
h
h
jA
h
jE
h
h
jC
h
h
jAE
h
h
h
h
jA
h
h
jE
h
h
jE
h
h
jE
h
h
h
h
h
jI
h
h
jI
h
h
h
jI
h
h
h
h
jO
h
h
jN
h
h
h
h
jI
h
h
h
h
gd
&
gd
gd
dha$gd
gd
jO
h
h
jO
h
h
h
jO
h
h
h
h
jO
h
h
h
j*
h
h
h
jOe
h
h
h
h
h
jU
h
h
jU
h
h
jU
h
h
h
h
jss
h
h
jTH
h
h
jY
h
h
h
h
jUe
h
h
ja
h
h
ja
h
h
ja
h
h
h
h
h
ja
h
h
jae
h
h
ja
h
h
h
h
je
h
h
je
h
h
jc
h
h
h
h
jae
h
h
ji
h
h
je
h
h
je
h
h
h
h
gd
3/4
dh ¤ ¤gd
&
F
gd
gd
gd
gd
dha$gd
h
j?
h
h
h
ji
h
h
h
h
ji
h
jo
h
h
jo
h
h
jo
h
h
h
h
jn
h
— корінь рівняння (4). Маємо систему рівнянь
:
.
.
.
Розміщення коренів квадратного рівняння
З’ясуємо, як розміщуються на дійсній осі корені квадратного рівняння
. (1)
.
Наведемо прості теореми стосовно розміщення коренів квадратного рівняння
(1) на дійсній осі.
мі-
ститься один корінь рівняння (1).
лежить між коренями рівняння (1).
лежить між коренями рівняння (1).
.
.
.
, при яких два корені рівняння
існують і належать інтервалу (0; 3).
.
Ще один спосіб розв’язування полягає у відшуканні найменшого кореня
квадратного рівняння
.
, при яких рівняння
має розв’язок.
, дістанемо квадратне рівняння
. (2)
. Застосуємо загальний метод розв’язування. Дискримінант рівняння (2).
.
.
Рівняння (2) матиме два розв’язки на відрізку [0; 1], якщо
виконуватимуться нерівності
.
.
Розглянемо всі інші можливості.
.
рівняння (2) має корінь на відрізку [0; 1], а вихідне рівняння має
дійсні розв’язки.
У даному прикладі можна було б відразу розв’язати рівняння (2):
.
.
корені квадратного рівняння
додатні?
Знайдемо дискримінант рівняння
.
. Для того щоб корені рівняння були додатніми, необхідно і достатньо,
щоб виконувались нерівності
.
У цьому прикладі можна знайти корні
.
.
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter