Курсова робота
на тему:
Напівпрості і прості кільця
Зміст:
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3
Поняття кільця. Приклади кілець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Умови, які визначають напівпростоту . . . . . . . . . . . . . . . .6
Теорема щільності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 9
Напівпрості кільця. Структура напівпростих кілець . . . 13
Прості кільця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 24
Поняття про модуль. Збалансовані модулі. . . . . . . . . . . .29
Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.Вступ.
Математика в самому загальному смислі слова має справу з визначенням і
використанням символічних моделей. Математична модель охоплює клас
невизначених(абстрактних, символічних) математичних об’єктів і
відношення між цими об’єктами .
Математична модель буде відтворювати відповідним чином вибрані сторони
фізичної ситуації, якщо можна встановити правила відповідності, що
зв’язують специфічні фізичні об’єкти і відношення з визначеними
математичними об’єктами і відношеннями.
Визначальні властивості математичних моделей представляють собою більше
чи менше безпосередні абстракції фізичних процесів.
Напівпрості і прості кільця являються алгеброю моделей з двома
визначальними операціями. В даній курсовій роботі розглянемо, що собою
являють напівпрості і прості кільця.
Непорожня множина K, на якій визначено операції додавання і множення,
називається кільцем, якщо виконуються такі умови:
множина K є адитивною абелевою групою;
множина K є мультиплікативною півгрупою;
операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто
K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.
Позначається кільце так (K, +, *).
0 і R напівпростий як лівий модуль над собою.
Кільце R називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас
простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.
Поняття кільця. Приклади кілець.
Означення2.1: непорожня множина K, на якій визначено операції додавання
і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:
множина K є адитивною абелевою групою;
множина K є мультиплікативною півгрупою;
операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто
K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.
Позначається кільце так (K, +, *).
Група є адитивною відносно операції додавання. Відносно операції
множення група є мультиплікативною.
Означення2.2: кільце, в якому для будь-якого ненульового елемента a
існує обернений називається тілом.
Означення2.3: тіло, в якому операція множення комутативна, називається
полем.
Означення2.4: якщо операція множення, визначена в групі, є комутативною,
то група називається комутативною або абелевою.
.
Приклади кілець:
Множина Z цілих чисел.
Множина Q раціональних чисел.
Множина R дійсних чисел.
Множина C комплексних чисел.
Нульове кільце, яке містить лише елемент 0.
Множина парних чисел і взагалі множина цілих чисел, які кратні деякому
числу m.
Множина цілих комплексних чисел, тобто чисел a+bi, де a та b цілі
числа.
Z, а k- натуральне число, яке не є повним квадратом. Множина
натуральних чисел, а також множина додатніх раціональних чисел кільцями
не є, так як для елементів цих множин нема протилежних, в цих множинах
немає також нульового елемента.
Всі многочлени з одним чи кількома змінними та коефіцієнтами з деякого
кільця R. При цьому за операції додавання та множення приймаються
звичайні дії над многочленами, які зводяться до додавання та множення
коефіцієнтів многочленів.
.
Пари (a,b) цілих чисел утворюють кільце, якщо операції визначені за
формулами
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)(c,d)=(ac,bd)
3.Умови, які визначають напівпростоту
–гомоморфізмами.
еквівалентні:
–сума деякої сім’ї простих підмодулів.
–пряма сума деякої сім’ї простих підмодулів.
.
Доведемо це.
Лема:
.
Доведення:
належить сумі, і лема доведена.
.
.
Можна записати
.
Тоді
,
може бути однозначно записаний у вигляді суми
,
простий.
Отже, лему доведено.
, то
,
. Це доводить, що ПП3 спричиняє ПП1.
, який задовольняє нашим трьом умовам, називається напівпрстим.
Твердження:
Всякий підмодуль і всякий фактор-модуль напівпростого модуля
напівпрості.
Доведення:
. Запишемо
.
має єдине представлення
,
.
Але,
.
є пряма сума
.
, який тим самим напівпростий. Що стосується фактор-модуля, то запишемо
.
напівпростий.
4.Теорема щільності
Теорема щільності:
. Тоді E буде також K- модулем, причому дія K на E задається
відображенням
. Але якраз це і означає умова
.
.
Виникає питання, на скільки великий образ цього гомоморфізму. Теорема
щільності стверджує, що він вельми великий.
Лема:
.
Доведення:
Так як E напівпростий, то має місце розклад в R–пряму суму
і, як наслідок,
.
.
Теорема щільності узагальнює цю лему на випадок скінченого числа
елементів з E замість одного. Для доведення використаємо діагональний
метод.
Теорема 4.1: (Джекобсон)
.
Доведення:
.
.
Що і треба було довести.
Наслідок 4.1:
.
Доведення:
алгебраїчно замкнуте. Це доводить, що
.
, такий, що
.
.
Наслідок 4.1 відомий як теорема Бернснайда. Він використовується у
наступній ситуації.
(мультиплікативний).
складається з лінійних комбінацій
,
у тому розумінні, який ми розглядали вище. Тому можна переформулювати
теорему Бернсайда наступним чином.
Наслідок 4.2:
.
.
–точний модуль, якщо задовольняється наступна умова:
–модулем, точність якого має місце тоді і тільки тоді, коли цей
гомоморфізм ін’єктивний.
Наслідок4. 3: (Теорема Веддерберна)
.
Доведення:
спричиняє, що це відображення ін’єктивне.
Наслідок доведено.
5.Напівпрості кільця
напівпростий як лівий модуль над собою.
Твердження:
–модуль напівпростий.
Доведення:
із собою деяке число раз. Далі можна застосувати таке твердження, що
довільний підмодуль і довільний фактор-модуль напівпростого модуля
напівпрості.
називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як модулі.
.
така сім’я простих лівих ідеалів, що ніякі два ідеали у ній не
ізоморфні і довільний простий лівий ідеал ізоморфний одному з ідеалів
цієї сім’ї. Ця сім’я є сім’єю представників для класів простих лівих
ідеалів відносно ізоморфізму.
Лема:
, то
.
Доведення:
Маємо
,
. Припустимо, що
.
такий, що
.
, то
.
простий, то цей гомоморфізм повинен бути ізоморфізмом.
. З леми випливає, що
,
представляється у вигляді суми
,
,
.
у вигляді суми
.
, так що
.
. Запишемо
.
маємо
,
а також
.
Крім того
.
однозначно визначена як
.
, яке згідно цього є кільцем. Так як
, то бачимо, що в дійсності
.
Означення5.1:
називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас
простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.
Отже, структурна теорема для напівпростих кілець таким чином доведена.
Теорема5.1:
–напівпросте кільце. Існує лише скінченне число не ізоморфних простих
лівих ідеалів, наприклад
.
–його одиничний елемент, то
.
Теорема 5.2:
. Тоді,
.
Доведення:
, то
,
і відповідно,
.
. А також
.
Наслідок 1:
.
Наслідок 2:
Просте кільце має з точністю до ізоморфізму тільки один простий модуль.
Обидва ці наслідки безпосередньо випливають з теорем 1 і 2.
Структура напівпростих кілець.
– кільце ? напівпростим, якщо
– ідеалів
– ідеалів
. Наступна теорема має фундаментальне значення при визначенні стуктури
напівпростих кілець.
Теорема5.3:
– кільцем, яке володіє наступними властивостями:
? володіє одиницею
– ідеалів цілком звідна і у ній виконано умову обриву спадних
ланцюгів, то кільце ? напівпросте.
Доведення:
є доповненням ідеалу J.
. Отже, ми показали повну звідність структури.
.
r
v
”$c¦2
4
>
J
L
x
&?8
&
AE
$
„7`„7a$ 8
L
&
&
j
j
jo
j?
j
j
&
j
??&?
Y
jAE…
j|f
H
j?)
jA
ji
j(o
jbU
j??
j^@
jµ%
j
i
jgO
j3/4·
jy™
j6.Прості кільця Лема: , такий, що . Доведення: Маємо . Покладемо . Теорема 6.1: , такий, що . При цьому . Доведення: . Можемо представити 1 у вигляді кінцевої суми , . Тоді . Це доводить наше перше твердження. Що стосується другого твердження, то воно є наслідком третього. . –ізоморфізм (який існує за означенням простого кільця). Тоді відображення , такий, що . Знайдемо . Відображення і, відповідно, ізоморфізмом. Звідси випливає, що і теорема 6.1 доведена. Наслідок1: –модуль. Тоді точний. Доведення: Маємо . Припустимо, що . Тоді . є точним. Теорема 6.2(Риффель): є ізоморфізмом. Доведення: маємо , , так що . Отже, теорема доведена. можна представити як кільце ендоморфізмів деякого скінченновимірного модуля над тілом. Зворотньо: Теорема 6.3: . Доведення: , такий, що . . Відображення , такий, що , просте. Залишається довести, що . тепер помінялися ролями!). , такий, що . , такий, що . Тоді . Таким чином, . . Отже, теорема доведена. Теорема 6.4: -простір і . у пряму суму таких ідеалів. Доведення: . Розклад модуля в пряму суму простих модулів є однозначним, що і доводить наше твердження. виглядають, наприклад, так: . стовпців. –скалярна матриця. . 7.Поняття про модуль , причому виконуються наступні умови: , , , . Якщо відображення називається кільцем скалярів, а його елементи – скалярами. Теорема 7.1: –адитивна абелева група. Твердження7.1.1 : –модуль, то відображення , таке, що , такий, що . Символ позначає цей же модуль. Твердження7.1.2 : –кільцевий антигомоморфізм, позначає той же самий модуль. Доведення: Якщо задано відображення –модуль. Кожен антигомоморфізм комутативного кільця є гомоморфізмом, так що для цих кілець поняття лівого і правого модулів співпадають. Збалансовані модулі. –модуль. Покладемо . скінченно породжене одним елементом 1). Теорема 7.2: (Моріта) . Доведення: (Фейт) – відображення, при якому . . Звідси маємо, що , – вільний модуль, то , такий, що . Звідси випливає, що , , очевидно, ін’єктивне. , розглянемо ізоморфізми адитивних груп . , а це й доводить теорему. Приклад: . Таким чином теорема є наслідком теореми. 8. Список використаної літератури: “Алгебра” С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968 “Кольца и модули” Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971 “Кольца(Элементы теории)”, Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973 “Алгебра: кольца, модулы и категории” Фейс К., Издательство МИР, 1977 “Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности” Издательство ЛГУ, 1986 “Теория колец”, Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter