Реферат на тему
Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності
незалежних випробовувань
Послідовності незалежних випробовувань.
Формула Бернуллі:
Якщо досліди проводити послідовно один за одним в одних і тих же
умовах, причому так, що ймовірність реалізації події А не залежить від
наслідку інших випробувань, то такі випробування рахуються незалежними
відносно подій А.
В подальшому будемо рахувати, що ймовірність події А в усіх
випробовуваннях (спробах) одна і та ж.
Під складною подією будемо розуміти суміщення кількох подій, які
будемо називати проектами. Нехай приводиться „n” спроб отримати подію А,
причому в кожній спробі ймовірність появи події „А” одна і та ж і рівна
„p”.
Ймовірність не реалізації події А буде q = 1 – p. Нехай необхідно
узнати ймовірність тримати подію А „k” раз якщо здійснено „n” спроб.
Зрозуміло, що позитивна реалізація події А не повинна бути якоюсь
певною. Шукану ймовірність можна обчислити по формулі Бернуллі.
Вивід формули Бернуллі:
Згідно теореми множення ймовірностей, якщо в „n” спробах
реалізується „k” раз подія, то ймовірність однієї спроби даної ситуації
обчислюється. В даній формулі реалізується лише одна, певна
послідовність виникання події 10001110…
Pn(1) (k) = pk qn-k
(ст.25)
Число комбінацій, які сприяють появі даного результату з ”n”
спроб „k” позитивна реалізація події визначається:
Cnk = n!/k! (n-k)!
Якщо допускається, що до мети (виникнення „k” помірних реалізацій
при „n” спробах) веде довільна комбінація 1010101… і інші, то згідно
суми ймовірностей незалежних подій шукана ймовірність буде:
Pk qn-k (1)
Отримана формула називається формулою БЕРНУЛЛІ.
ПРИКЛАД: Ймовірність того, що на протязі доби екзаменаційні сесії
двійок отримає не більше p = 0,1; Знайти ймовірність того, що за всю
сесію (20 днів) на протязі 7 днів двійок отримає не більше p = 0,1.
Ясно що при p = 0,1 a = 0,9 шукана ймовірність обчислюється за
формулою:
0,17 0,913
Набір чисел Pn(k) = C20k , k = 0,1,2,…,n називається біноміальним
розподілом, а саму формулу
Pn(k) = Cnk Pk qn-k
біномною формулою. Оскільки 1n = 1, то
Cnk Pk qn-k = 1 (2)
(ст.26)
Число настання події являється найімовірнішим, якщо
ймовірність даної події більша, за усі інші. Ясно, що для різних „k”
число незалежних випробовувань, p – ймовірність послання даної події в
одній спробі q = 1 – p – ймовірність не послання події, то найімовірніше
число настання події „k0” задовольняє нерівності :
Pn – q ? K0 ? Pn + P (3)
Оскільки K0 додатнє число, а різниця np + p – (n – p) = p + q = 1, то
завжди існує оптимальне значення K0.
Якщо ймовірність „p” одного порядку з величиною (1/n) при великих „n”
або при P 1 – то ймовірність зросту.
Якщо
1 => pn – kp > kq + q,
pn – q > k (p + q), але p + q = 1.
k pn – q, то функція буде спадати. Графік, схематичний даної
функції:
Як бачимо максимум обов’язково є.
Зрозуміло, що pn – q – не є цілим числом. Якщо врахувати, що k0 є цілим
числом, то , як виявляється k0 мусить задовольняти нерівності np – q I
@
&
!
Тоді F0(х)=0,5+ф(х). Ця формула зв’язує дві функції F0(х) та ф(х) (і
та, і інша табуьовані.)
Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний
закон розподілу неперервної випадкової величини
.
;dx=?dz
Правило трьох „?”. Ми уже знаємо, що степінь розпорошення випадкової
величини біля її значення „а” визначається „?”. Питається, якщо відомо
а та ?, де в основному буде перебувати випадкова величина. Виявляється,
що, коли інтервал зміни випадкової величини буде
|x-a| 0 має місце
нерівність
вона додатно визначена, тоді виписується нерівність (?)
!
;
.
Теорема Чебишева. Нехай ?1,…, ?n – попарно спряжені випадкові величини з
однаковими математичними сподіваннями та дисперсіями, обмеженими одним і
тим же числом
D (?i) ? Ci ; i=1, 2, …
a.
Згідно з властивостями математичного сподівання паралельних величин
=a
Аналогічно для дисперсій
.
;
Тоді можна записати нерівність Чебишева
;
– a|
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
