Реферат на тему:
Первісна функція та невизначений інтеграл
Задачею диференціального числення було знаходження похідної від заданої
функції y=f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно
визначити функцію, похідна від якої відома.
Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо
f((x)=F(x).
Приклад. Для функції y=3×2 первісними є функції F(x)=x3; F(x)=x3+5;
F(x)=x3-6,3 тощо.
Означення. Невизначеним інтегралом від функції f(x) називається
сукупність усіх первісних цієї функції.
Використовується позначення
,
де f(x)dx – підінтегральний вираз, а C – стала інтегрування.
З геометричного погляду невизначений інтеграл – це сукупність (сім’я)
ліній F(x)+C (рис. 7.1).
y y=x3+5,2 (C=5,2)
y=x3+2 (C=2)
y=x3-3 (C=
-3)
Рис.7.1.
Наведемо таблицю основних інтегралів. Доведення кожної рівності полягає
у її диференціюванні.
(n(-1) , у тому числі
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Приклади.
;
;
.
Із означення невизначеного інтеграла випливають такі властивості
інтегрування:
;
;
(метод заміни змінних, метод підстановки);
(інтегрування частинами).
Приклади.
. Виконуємо заміну (підстановку) x/4=t.
Тоді dx=4dt, отже,
. Виконуємо заміну 2x=t, звідки 2dx=dt. Тепер
. При заміні x=t3-1 маємо x+1=t3 , dx=3t2dt і далі
(заміна 4x=t).
(заміна 6x-5=t).
Інтегрування частинами потребує певних навиків. Розглянемо цей спосіб на
прикладах.
Приклади.
. Позначимо вираз lnx через u, а вираз x3dx через dv. Знаходимо du та
v:
Отже,
.
. Позначимо u=x, dv=e2xdx. Звідси du=dx, v=(1/2)(e2x. Тоді
.
Для інтегрування раціональних дробів, тригонометричних виразів тощо,
використовуєть спеціальні прийоми. Розглянемо два приклади відшукання
невизначених інтегралів від раціональних дробів.
Приклади.
;
.
В економіці часто застосовують такі функції, як y=lnx та y=1-e-x.
Інтеграли від цих функцій :
;
(перевірка виконується диференціюванням).
існують, проте через елементарні функції не виражаються.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter