Про систему задач для вивчення інтеграла.
Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному
посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться
до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла
(1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного
аналізу для втузів, мають тренувальний характер. Між тим відомо, що
різноманітність задач допомагає краще засвоїти вивчаюче поняття, його
різні прояви. До того ж у запропонованих в (1) задачах недостатньо
використовуються раніше засвоєні знання, поняття інтеграла тим самим
немов ізолюється від іншого курсу алгебри та початків аналізу, при
розв’язуванні задач не закріпляються раніше здобуті знання.
В методичній літературі є деякі спроби спростити систему вправ для
вивчення первісної та інтеграла. Так, наведені деякі вправи у збірнику
задач (3), але в більшості вони важкі для учнів XI класу й іноді далеко
виходять за рамки шкільної програми. Деякі цікаві і змістовні вправи є
в (4), (2), (5), але тут поміщені тільки деякі задачі.
В цій статті пропонуються задачі, для розв’язку яких крім знань про
інтеграл застосовуються знання, уміння і навички з інших розділів
алгебри і початків аналізу. При цьому розширюється клас функцій,
інтеграли від яких можуть бути обчисленні учнями XI класу, досягається
необхідна різноманітність задач, піднімається зацікавленість учнів у
вивченні цього розділу програми.
I
Відомо, що міцні, стійкі і гнучкі вміння формуються тоді, коли вони
застосовуються разом із раніше здобутими уміннями і навичками. Саме
таким чином знову сформовані уміння включаються у систему знань і умінь
учнів. До того ж розв’язування задач, які потребують застосування раніше
отриманих знань, істотно допомагає закріпленню вивченого і сприяє
формуванню важливого вміння застосовувати знання в різноманітних
ситуаціях.
На уроках у XI класі будуть корисними задачі, в яких знаходженню
первісної (обчисленню інтеграла) передувало б спрощення або перетворення
формули, що задає функцію. Такі наступні задачі.
Знайдіть яку-небудь первісну для заданої функції:
;
;
;
;
;
;
;
.
Обчисліть інтеграл, виконавши перед тим необхідні перетворення
підінтегральної функції:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
.
3*. Перетворивши підінтегральну функцію, обчисліть інтеграл:
;
;
;
.
Додаткового часу, як і додаткових завдань, для розгляду наведених задач
фактично не потрібно: їхній розв’язок потрібно зв’язати з повторенням.
Можна пропонувати і такі задачі на обчислення інтегралів, які
потребують більш складніших перетворень тригонометричних виразів.
4*. Обчисліть інтеграл:
;
;
;
;
;
.
Розв’язок задачі 4 (д):
Задачі 3–4 корисно розглядати на позакласних або факультативних
заняттях.
Принесе користь розв’язування і наступних задач.
5. Обчисліть, попередньо перетворивши підінтегральну функцію:
;
;
;
.
До цього часу розглядалися вправи, в яких потрібно було обчислити
інтеграл, використовуючи для цього відомості із попереднього курсу
алгебри і математичного аналізу. Але і задачам, в яких інтеграл відіграє
допоміжну роль, потрібно відвести час на уроках або позакласних
заняттях. Ось приклади таких вправ.
6. Розв’яжіть рівняння:
;
;
.
і є коренем рівняння:
;
.
.
, для яких правильна нерівність:
;
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter