Реферат
Н а Т Е М У:
“Обернені тригонометричні функції.
Тригонометричні рівняння і нерівності”
ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
ПЛАН
Обернені тригонометричні функції
Тригонометричні рівняння
Тригонометричні нерівності.
Введення обернених тригонометричних функцій
. У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f,
введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано
необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і
доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено
також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і
розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до
неї функції.
У IX класі було введено означення числової функції як відображення
підмножини D множини R на деяку підмножину Е множини R. Для позначення
області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f)
і E(f). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є
можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку,
сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових
відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без
доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної
неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли
розглядаються обернені тригонометричні функції.
Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожного виду слід
повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового
аргументу.
, на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень
[-1; 1].
, D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус
(зростаюча і неперервна функція), спираючись на сформульовану раніше
теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної
монотонної і неперервної функції.
.
Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= –
arcsin x. За означенням арксинуса маємо:
Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо
Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на
означення арксинуса і непарність синуса
sin (arcsin (-х)) = -х,
sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.
і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на
вказаному проміжку. Отже,
arcsin (-х) = -arcsin x.
Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції
у=arcsin x відносно початку координат.
Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених
у градусах, слід додержуватися правил наближених обчислень. Ця вимога не
завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з
пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:
sin 65°00′;
1,1345 рад;
1,1345,
оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за таблицями
відповідає наближене значення кута з точністю до 1.
Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий
вигляд:
sin 420
0,73;
0,73
Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за
таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під
час знаходження відповідної оберненої функції і з’ясування h
властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те,
що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона
задовольняє умову
– arccos х.
Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.
Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості,
виконавши такі вправи.
1) Чи існує arccos 1,5?
?
3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).
4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?
.
Детальніше розглянути властивості обернених тригонометричних функцій
можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях
доцільно довести тотожності:
– arccos x,
— arcctg x;
розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними
функціями; вивести основні співвідношення між ними.
У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення
поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували
називати:
1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригонометричної
функції (в такому разі рівняння виду sin х+х=0 не належить до
тригонометричних; його пропонували називати трансцендентним) .
2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.
З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав,
що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є
принциповими. Важливо одне – немає загального методу розв’язування
тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності
тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, в
яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім
не мають розв’язків, або мають їх безліч. Це пов’язано з властивістю
періодичності тригонометричних функцій.
Розв’язування тригонометричних нерівностей
Розв’язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про
властивості тригонометричних функцій, набувають навичок
теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв’язування будь-якої
тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв’язування
найпростіших нерівностей виду
Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, природно
розв’язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]),
з’ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв’язування
нерівності з однією змінною.
Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв’язування найпростіших
тригонометричних нерівностей графічний спосіб поряд з перевагами має
деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки
тригонометричних функцій. Тому корисно показати учням, як такі
нерівності розв’язуються за допомогою одиничного кола.
Література.
Алгебра і початки аналізу 10-11 клас
Методика викладання алгебри та початків аналізу
PAGE
PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
