Пошукова робота на тему:
Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера,
методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема
Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування
системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
План
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).
Правило Крамера.
Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці.
Метод Гауса.
Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР.
Теорема Кронекера Капеллі.
Однорідні системи.
4.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
невідомими запишемо так:
(4.1)
Скорочено її можна записати
(4.1/)
позначити стовпець із невідомих, то систему (4.1) можна записати в
матричному вигляді
(4.1//)
нульова матриця).
Система рівнянь називається неоднорідною, якщо в її правій
частині є хоча б один відмінний від нуля елемент.
Система (4.1) може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язок
або взагалі не мати розв’язків.
Системи, що не мають розв’язків, називаються несумісними, а
які мають розв’язки – сумісними.
4.2.1. Правило Крамера
невідомими
(4.2)
квадратна.
(із коефіцієнтів при невідомих)
, (4.3)
го стовпця стовпцем вільних членів
(4.4)
невідомими (4.2) відмінний від нуля, то система має розв’язок і при
тому єдиний, який знаходиться за
формулами
(4.5)
е рівняння системи (4.2), одержимо
Тобто, ми показали що довільне рівняння системи (4.2) перетворюється в
числову рівність при роз’язках (4.7).
Ми тут використали властивості сум, а також властивість
визначників п.1.2.
Тоді будемо мати
Віднімаючи від першої рівності другу, одержимо
Теорема доведена.
4.2.2. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці
Систему (4.2) запишемо у матричному вигляді (4.1//)
де
одержимо
Отже, розв’язок системи (4.4) в матричній формі запишеться так:
(4.6)
Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) засобами матричного числення:
Тоді за формулами Крамера (4.7) одержимо
де
:
,
і
4.2.3. Метод Жордана-Гаусса
У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво,
економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі,
розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких
кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих
може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування
таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою
визначників. Але найпоширеніший з них – метод Жордана-Гаусса, який не
потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі
розв’язування завжди стає ясно, має система розв’язки чи не має, єдиний
її розв’язок чи ні. Оскільки для розв’язування системи рівнянь методом
Жордана-Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при
розв’язуванні за формулами Крамера, то метод Жордана-Гаусса став
основним при побудові стандартних програм для сучасних комп’ютерів.
невідомими (4.1).
Метод Жордана-Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за
допомогою елементарних перетворень:
;
2) заміна одного з рівнянь системи сумою з іншим рівнянням
тієї ж системи, помножимо на деяке число;
.
із усіх рівнянь системи, крім одного.
:
.
. Тоді одержимо
. (4.7)
.
Тоді рівняння (4.7) матиме вигляд
де
(4.8)
Виконавши всі ці операції
при
Виконавши всі ці операції при
,
не буде.
Таким самим способом, приймаючи в ролі
ведучого інше рівняння, можна з усієї решти рівнянь виключити ведуче
вибране невідоме. Продовжуючи цей процес доти, поки кожне рівняння
побуде ведучим тільки один раз, прийдемо до системи рівнянь вигляду
(4.9)
, то зрозуміло, вони далі в процесі перетворення не беруть участі і
тому виключаються з системи.
.
Якщо описаний процес проводився в іншому порядку, то після його
закінчення члени в рівняннях завжди можна переставити так, щоб система
набрала вигляду (4.9).
У випадку, коли в процесі розв’язування системи рівнянь де-небудь ліва
частина якогось рівняння перетворюється в нуль, а права-не дорівнює
нулю, то це означає, що система несумісна і тому обчислення треба
припинити.
, то такий базис називається виродженим.
Приклад. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему рівнянь:
, щоб уніфікувати найменування невідомих. Тоді одержимо
, запишемо систему у вигляді таблиці, цілком зрозумілої:
Приймемо в ролі ведучого перший рядок і в ньому ведучим-перший елемент;
за допомогою його перетворимо в нулі в першому стовпчику всі елементи,
крім першого.
і результати додамо відповідно до другого , третього, четвертого і
п’ятого рядків. В результаті одержимо:
.
У другому рядку всі елементи від’ємні, тому можна весь рядок помножити
на –1. Це не вплине на результат, бо така операція рівносильна множенню
другого рівняння на –1. Аналогічні дії виконані з третім рядком.
Остання таблиця одержана множенням другого
рядка на (3), 5-го – на (–3), четвертого – на ( –1).
Пояснення до останньої таблиці: в ній рівняння мають вигляд
4.2.4. Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР
При розв’язуванні ряду задач, зокрема економічних, доводиться
мати справу з системами лінійних рівнянь, розв’язки яких за змістом
задачі повинні бути невід’ємними.
При розв’язуванні ряду задач, зокрема економічних, доводиться
мати справу з системами лінійних рівнянь, розв’язки яких за змістом
задачі повинні бути невід’ємними.
Знаходження таких розв’язків здійснюється теж за методом
Жордана-Гаусса з деякою його модифікацією. Суть модифікації полягає ось
у чому.
то множенням відповідних рівнянь на –1 їх можна зробити додатними.
2. У ролі ведучих елементів треба брати лише додатні.
в) після всіх перетворень виписати розв’язок так само, як і при
знаходженні довільних розв’язків. Якщо все виконувалось правильно, то
невід’ємний розв’язок, якщо він існує, знайти завжди можна.
.
, про що йдеться в п.1).
Приклад 1. Знайти невід’ємний розв’язок системи рівнянь:
Р о з в ’ я з о к. Запишемо матрицю цієї системи і здійснимо ряд
послідовних її перетворень:
Від 1-го і 3-го рядка віднімемо 3, а від 4-го – 0,25.
(3-й рядок поділимо на 2)
(1-й рядок поділимо на 7)
(4-й рядок помножимо на 7)
.
.
-небазисні змінні.
Приклад 2. Розставити числові коефіцієнти в реакції
– коефіцієнти в написаному рівнянні
Отже, розв’язок має вигляд :
Таким чином, рівняння буде таким:
.
4.2.5. Теорема Кронекера-Капеллі. Однорідні системи
системи лінійних алгебраїчних рівнянь (4.1) називається матриця (до
матриці системи приєднується стовпець вільних членів)
Ми приводимо цю теорему без доведення. Доведення див.,наприклад, в кн.
Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометри и линейной алгебры.
М.:Наука, 1984. с.165-166.
Знаходження рангу матриці див. в п.4.1.3.
який називається тривіальним розв’язком. Всі попередні результати про
системи лінійних рівнянь вірні і для однорідних систем.
Множина розв’язків однорідної системи має дві важливі властивості, які
ми приведемо без доведення.
також є розв’язком цієї системи. Добуток розв’язку однорідної системи
на довільне число є розв’язком тієї ж системи.
кількість невідомих системи).
Приклад 1. Знайти всі розв’язки системи лінійних
однорідних рівнянь:
Р о з в ’ я з о к. Ця система однорідна, але тут 4
рівняння, 5 невідомих.
Перший рядок помножимо по черзі на (-1), (-3), (-1) і додамо відповідно
до 2-го, 3-го і 4-го рядків.
Четвертий рядок помножимо по черзі на 20, 11, -1 і додамо відповідно до
2-го, 3-го і 4-го рядків.
Другий рядок помножимо на (-1), 7 і додамо відповідно до 1-го і 3-го
рядків.
.
З останньої таблиці маємо
де С-довільна константа.
Оскільки
).
система рівнянь
має ненульові розв’язки? Знайти ці розв’язки.
, тобто
.
Розкладемо визначник за елементами першого рядка:
.
.
, то перше і друге рівняння виявились однаковими. Тому одне з них можна
відкинути. Тоді матимемо систему
вважати вільним невідомим, то
Якщо вважати
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
